Derivata di un versore
Salve a tutti,
ho un dubbio sorto dai miei appunti xD la mia prof ha detto che in un sistema cartesiano rettilineo ortogonale quando bisogna fare la derivata di un vettore basta fare la derivata delle componenti del vettore ;quindi essendo i versori costanti in questo sistema la derivata è nulla perché è nulla la derivata delle componenti , mentre ciò non avviene se ci troviamo in un altro sistema
Il mio dubbio sorge qui...come mai è nulla la derivata ? io sapevo che la derivata di un versore è un versore ortogonale...
Qualcuno sa spiegarmi il perché ?
ho un dubbio sorto dai miei appunti xD la mia prof ha detto che in un sistema cartesiano rettilineo ortogonale quando bisogna fare la derivata di un vettore basta fare la derivata delle componenti del vettore ;quindi essendo i versori costanti in questo sistema la derivata è nulla perché è nulla la derivata delle componenti , mentre ciò non avviene se ci troviamo in un altro sistema
Il mio dubbio sorge qui...come mai è nulla la derivata ? io sapevo che la derivata di un versore è un versore ortogonale...
Qualcuno sa spiegarmi il perché ?
Risposte
Stai confondendo due cose.
Per prima cosa, più che di derivata di vettori, stai facendo la derivata di funzioni vettoriali ad una variabile reale, ovvero funzioni del tipo \(\displaystyle \mathbf{r}\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}^n \) . Se su \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) hai definito una base ortonormale \(\displaystyle \{ \mathbb{e}_i\} \) (fissata) allora puoi scrivere \(\displaystyle \mathbf{r} \) come \(\displaystyle \mathbf{r}(t) = \sum_{i=1}^n \langle \mathbf{r}(t), \mathbf{e}_i\rangle \mathbf{e}_i = \sum_{i=0}^n r_i(t)\mathbf{e}_i \).
Per la linearità dell'operatore derivata hai che \(\displaystyle \frac{d}{dt}\mathbf{r}(t) = \sum_{i=0}^n \frac{d}{dt}\bigl(r_i(t)\mathbf{e}_i \bigr) = \sum_{i=0}^n \frac{d}{dt}r_i(t)\mathbf{e}_i + r_i(t)\frac{d}{dt}\mathbf{e}_i \). Siccome la base \(\displaystyle \{ \mathbb{e}_i\} \) è fissata ovvero non dipende da \(\displaystyle t \), allora \(\displaystyle \frac{d}{dt}\mathbf{e}_i = 0 \) e \(\displaystyle \frac{d}{dt}\mathbf{r}(t) = \sum_{i=0}^n \frac{d}{dt}r_i(t)\mathbf{e}_i \).
Il caso dei versori a cui fai riferimento è invece quello in cui \(\displaystyle \mathbf{r}(t) \) possiede la proprietà \(\displaystyle \langle \mathbf{r}(t), \mathbf{r}(t)\rangle \equiv 0 \). In questo caso, derivando l'equazione \(\displaystyle \langle \mathbf{r}(t), \mathbf{r}(t)\rangle = 0 \) ricavi che \(\displaystyle 2 \langle \mathbf{r}(t), \mathbf{r}'(t)\rangle = 0 \) dove ho posto \(\displaystyle \mathbf{r}'(t) = \frac{d}{dt}\mathbf{r}(t) \).
Ovviamente se al posto di una base fissata stai usando un sistemi di riferimento mobile allora nel calcolo della derivata dovrai tenere conto anche della derivata del sistemi di riferimento.
Per prima cosa, più che di derivata di vettori, stai facendo la derivata di funzioni vettoriali ad una variabile reale, ovvero funzioni del tipo \(\displaystyle \mathbf{r}\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}^n \) . Se su \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) hai definito una base ortonormale \(\displaystyle \{ \mathbb{e}_i\} \) (fissata) allora puoi scrivere \(\displaystyle \mathbf{r} \) come \(\displaystyle \mathbf{r}(t) = \sum_{i=1}^n \langle \mathbf{r}(t), \mathbf{e}_i\rangle \mathbf{e}_i = \sum_{i=0}^n r_i(t)\mathbf{e}_i \).
Per la linearità dell'operatore derivata hai che \(\displaystyle \frac{d}{dt}\mathbf{r}(t) = \sum_{i=0}^n \frac{d}{dt}\bigl(r_i(t)\mathbf{e}_i \bigr) = \sum_{i=0}^n \frac{d}{dt}r_i(t)\mathbf{e}_i + r_i(t)\frac{d}{dt}\mathbf{e}_i \). Siccome la base \(\displaystyle \{ \mathbb{e}_i\} \) è fissata ovvero non dipende da \(\displaystyle t \), allora \(\displaystyle \frac{d}{dt}\mathbf{e}_i = 0 \) e \(\displaystyle \frac{d}{dt}\mathbf{r}(t) = \sum_{i=0}^n \frac{d}{dt}r_i(t)\mathbf{e}_i \).
Il caso dei versori a cui fai riferimento è invece quello in cui \(\displaystyle \mathbf{r}(t) \) possiede la proprietà \(\displaystyle \langle \mathbf{r}(t), \mathbf{r}(t)\rangle \equiv 0 \). In questo caso, derivando l'equazione \(\displaystyle \langle \mathbf{r}(t), \mathbf{r}(t)\rangle = 0 \) ricavi che \(\displaystyle 2 \langle \mathbf{r}(t), \mathbf{r}'(t)\rangle = 0 \) dove ho posto \(\displaystyle \mathbf{r}'(t) = \frac{d}{dt}\mathbf{r}(t) \).
Ovviamente se al posto di una base fissata stai usando un sistemi di riferimento mobile allora nel calcolo della derivata dovrai tenere conto anche della derivata del sistemi di riferimento.
In realtà sto nello spazio tridimensionale ed era una formula fisica però necessitava più di un ragionamento matematico 
io ho che :
$vec(grad) = vec(alpha) _i (partial)/(partial x_i)$
e
$vec(v)= (v_j vec(alpha)_j)$
quindi facendo il prodotto scalare ottengo :
$(vec(alpha) _i (partial)/(partial x_i))\cdot (v_j vec(alpha)_j)$
svolgendo ho:
$vec(alpha) _i (partial v_j)/(partial x_i) \cdot vec(alpha)_j + vec(alpha) _i v_j \cdot (partial vec(alpha)_j)/(partial x_i)$
e l'ultimo termine scompare perché la derivata del versore in un sistema cartesiano rettilineo ortogonale è nulla
Sapresti dirmi come mai ?
io ho che :
$vec(grad) = vec(alpha) _i (partial)/(partial x_i)$
e
$vec(v)= (v_j vec(alpha)_j)$
quindi facendo il prodotto scalare ottengo :
$(vec(alpha) _i (partial)/(partial x_i))\cdot (v_j vec(alpha)_j)$
svolgendo ho:
$vec(alpha) _i (partial v_j)/(partial x_i) \cdot vec(alpha)_j + vec(alpha) _i v_j \cdot (partial vec(alpha)_j)/(partial x_i)$
e l'ultimo termine scompare perché la derivata del versore in un sistema cartesiano rettilineo ortogonale è nulla
Sapresti dirmi come mai ?
la derivata spaziale del versore è nulla perchè muovendosi nello spazio direzione ed intensità non cambiano, da qui la sua derivata nulla. Ciò non è vero in sistemi genereali dove i versori cambiano direzione di punto in punto (e.g. sferiche).
Attento a non confonderti con la derivata temporale di funzioni vettoriali. (o campi Tensoriali)
Attento a non confonderti con la derivata temporale di funzioni vettoriali. (o campi Tensoriali)
La derivata è nulla perché la direzione dei versori \(\displaystyle \vec{\alpha}_i \) non dipende dal punto.
Quello che hai risposto tu lo penso anche io..
però dalla derivata studiata in meccanica io mi ricordo che la derivata di un versore è ortogonale al versore di partenza e si prova con il prodotto scalare di un versore per se stesso...
Per caso quello che sostengo io è la derivata di un versore in un sistema curvilineo o sto confondendo tutto ?
Che differenza c'è se il vettore è applicato o meno ? se non è applicato perché la derivata è nulla ?
Ognuno dice una cosa diversa
però dalla derivata studiata in meccanica io mi ricordo che la derivata di un versore è ortogonale al versore di partenza e si prova con il prodotto scalare di un versore per se stesso...
Per caso quello che sostengo io è la derivata di un versore in un sistema curvilineo o sto confondendo tutto ?
Che differenza c'è se il vettore è applicato o meno ? se non è applicato perché la derivata è nulla ?
Ognuno dice una cosa diversa
ti stai confondendo con derivate temporali di funzioni vettoriali qui si parla di derivata spaziale dei versori base :p
Potreste scrivere qualche passaggio per dimostrare ciò che dite?
dato che così sto capendo ben poco
dato che così sto capendo ben poco
bhe, immagina una particella che si muove nello spazio, la posizione di questa sarà una funzione vettoriale come ti ho mostrato nella immagine e qui entra in gioco quello che dici tu :p per quanto riguarda quello che stai facendo tu è un altro discorso e dovresti guardare sul libro il concetto di simbolo di Christoffell, intuitivamente la derivata dei versori base dovrebbe in qualche modo rappresentare quanto questi versoi cambiano da punto in punto.
Sul libro non ho trovato nulla del genere... e su Wikipedia la spiegazione è al quanto molto ma molto complessa
Non sapresti dirmi tu qualcosa in modo abbastanza semplice con un qualche passaggio ?
Non sapresti dirmi tu qualcosa in modo abbastanza semplice con un qualche passaggio ?
Quindi viene zero perché la direzione dei versori non cambia essendo il riferimento ortogonale
attenzione che potrebbe essere anche ortogonale ed avere i vettori base che cambiano nello spazio (tipo coordinate sferiche)
Basta che sia rettilineo così i versori sono costanti invece se è solo ortogonale (e non rettilineo) non è più vero come per il sistema curvilineo ortogonale
invece se è solo ortogonale (e non rettilineo) non è più vero come per il sistema curvilineo ortogonale
"Iris94":
Salve a tutti,
ho un dubbio sorto dai miei appunti xD la mia prof ha detto che in un sistema cartesiano rettilineo ortogonale quando bisogna fare la derivata di un vettore basta fare la derivata delle componenti del vettore ;quindi essendo i versori costanti in questo sistema la derivata è nulla perché è nulla la derivata delle componenti , mentre ciò non avviene se ci troviamo in un altro sistema
Il mio dubbio sorge qui...come mai è nulla la derivata ? io sapevo che la derivata di un versore è un versore ortogonale...
Probabilmente stai confondendo due cose: i versori in generale (che hanno derivata ortogonale alla direzione da essi individuata) ed i versori (paralleli a quelli) degli assi cartesiani (che hanno componenti costanti e, dunque, derivata nulla).
Credo che la tua prof. si stesse riferendo a questi ultimi quando hai scritto gli appunti.
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