Derivata di un o piccolo.

[Nebula2]

non sono sicuro di una cosa.
$f in o(x^2) rArr f' in o(x)$?

dato che se vale l'hp $f(x)=g(x) x^2$ con $g rarr 0$, $f'(x)=g'(x) x^2 + 2 g(x) x = [g'(x) x +2 g(x) ]x$ e $g'(x) x +2 g(x)$ può non tendere a zero.

sbaglio?

[Nebula2]

allora... l'implicazione è falsa?

[e^iteta]

ciao
se hai due funzioni tali che

$f(x) in o(g(x)) , x->x_(0)$

se sono entrambe infinitesime o infinite, allora de l'Hopital ti garantisce che il limite delle derivate sia uguale.
altrimenti credo si possano trovare controesempi per tutte le altre possibilità...
nel tuo caso quindi se l'o-piccolo era per $x->0$ allora vale anche per le derivate.

[Fioravante Patrone1]

"Nebula":non sono sicuro di una cosa.
$f in o(x^2) rArr f' in o(x)$?

dato che se vale l'hp $f(x)=g(x) x^2$ con $g rarr 0$, $f'(x)=g'(x) x^2 + 2 g(x) x = [g'(x) x +2 g(x) ]x$ e $g'(x) x +2 g(x)$ può non tendere a zero.

sbaglio?

no

d'altronde, vedila così, graficamente:
immagina che la tua $f$ abbia il grafico compreso fa $-|x|^3$ e $|x|^3$

è evidente che lì in mezzo le puoi far fare delle oscillazioni sempre più violente (mi riferisco al rapporto fra distanza fra i picchi e distanza tra le loro ascisse)

puoi usare cose tipo $x^3 \cdot \sin ( \frac{1}{x^a} )$