Derivata di un logaritmo
Salve a tutti, è da ieri che affronto l'argomento delle derivate e ancora non sono tanto esperto nell'eseguire tali esercizi...
Il mio quesito è il seguente:
"calcolare la derivata nel punto $x=2$" della funzione $f(x)=log(x^2 -1)$
Dapprima ho calcolato il rapporto incrementale (ma non so se è giusto):
$(f(2+h)-f(2))/(h)=(log(2+h)^2 -2(log(1-1)))/(h)=(log(2+h)^2)/(h)$ , ma a questo punto mi sono bloccato...Sicuramente c'è qualche errore nel rapporto incrementale....
La derivata prima, secondo il risultato del libro, dovrebbe venire $4/3$
Grazie a chi risponde
Il mio quesito è il seguente:
"calcolare la derivata nel punto $x=2$" della funzione $f(x)=log(x^2 -1)$
Dapprima ho calcolato il rapporto incrementale (ma non so se è giusto):
$(f(2+h)-f(2))/(h)=(log(2+h)^2 -2(log(1-1)))/(h)=(log(2+h)^2)/(h)$ , ma a questo punto mi sono bloccato...Sicuramente c'è qualche errore nel rapporto incrementale....
La derivata prima, secondo il risultato del libro, dovrebbe venire $4/3$
Grazie a chi risponde
Risposte
"yader":
Salve a tutti, è da ieri che affronto l'argomento delle derivate e ancora non sono tanto esperto nell'eseguire tali esercizi...
Il mio quesito è il seguente:
"calcolare la derivata nel punto $x=2$" della funzione $f(x)=log(x^2 -1)$
Dapprima ho calcolato il rapporto incrementale (ma non so se è giusto):
$(f(2+h)-f(2))/(h)=(log(2+h)^2 -2(log(1-1)))/(h)=(log(2+h)^2)/(h)$ , ma a questo punto mi sono bloccato...Sicuramente c'è qualche errore nel rapporto incrementale....
La derivata prima, secondo il risultato del libro, dovrebbe venire $4/3$
Grazie a chi risponde
Stai attento perchè hai sbagliato i conti nel rapporto incrementale: Pensa bene a chi sono $f(2+h)$ e $f(2)$.
Uhm... il rapporto incrementale pare errato...
[tex]\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{log((x+h)^2-1)-log(x^2-1)}{h} = \frac{log \frac{(x+h)^2-1}{x^2-1}}{h}[/tex]
in [tex]x=2[/tex] ho che:
[tex]\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{log \frac{(2+h)^2-1}{3}}{h}[/tex]
riprova da qui...
[tex]\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{log((x+h)^2-1)-log(x^2-1)}{h} = \frac{log \frac{(x+h)^2-1}{x^2-1}}{h}[/tex]
in [tex]x=2[/tex] ho che:
[tex]\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{log \frac{(2+h)^2-1}{3}}{h}[/tex]
riprova da qui...
Il libro di teoria mi porta esempi più banali...Sinceramente non riesco a svolgere!!!Dammi un aiutino in più!!!!
Grazie
Grazie
"yader":
Il libro di teoria mi porta esempi più banali...Sinceramente non riesco a svolgere!!!Dammi un aiutino in più!!!!
Grazie
Sfrutta quanto detto da Lord K. Svolti i conti ti resta da calcolare un limite nella variabile $h$. Prova a pensarci, se non sai come muoverti chiedi pure, oerò prima fai qualche tentativo ora che sei arrivato di fronte al limite corretto da risolvere.
Si tratta di trovare un limite notevole al quale rivolgersi per risolvere il problema. Prova poi eventualmente ti si aiuta ancora un poco!
Scusa Lord k....Perchè il secondo termine del rapporto incrementale ti viene $-log(x^2 -1)$???
"yader":
Scusa Lord k....Perchè il secondo termine del rapporto incrementale ti viene $-log(x^2 -1)$???
Ho messo un caso generale, nel tuo caso, se sostituisci $x=2$ è $log3$
Sto cercando di capire come funziona il rapporto incrementale....La soluzione mi interessa ma prima vorrei capire....
Un esercizio svolto sul libro mi dice che il rapporto incrementale della funzione $f(x)=x^3 -4x +1$ è $((1+h)^3 -4(1+h) +1 -(1-4+1))/(h)$
Io da questo sto cercando di svolgere (sempre in base alla definizione) le altre derivate
Un esercizio svolto sul libro mi dice che il rapporto incrementale della funzione $f(x)=x^3 -4x +1$ è $((1+h)^3 -4(1+h) +1 -(1-4+1))/(h)$
Io da questo sto cercando di svolgere (sempre in base alla definizione) le altre derivate
Nell'esempio riportato del libro il punto x=1 è il punto dove si deve calcolare la derivata....Cioè se il punto fosse stato x=5 l'ultima parentesi anzichè venire $-(1-4+1)$ sarebbe stata $-5(1-4+1)$ giusto???
Se segui la definizione dice che bisogna dividere la differenza tra la funzione calcolata in $x+h$ e la funzione calcolata $x$ per l'incremento $h$ e poi far tendere l'incremento a zero.
Da quello che mi pare di capire tu fai confusione su come si calcola $f(x+h)$. Hai che devi sostituite la variabile $x$ con $x+h$, siccome $f(x)=x^3-4x+1$ implica che:
$f(x+h)=(x+h)^3-4(x+h)+1$
da questo il rapporti incrementale è:
$(f(x+h)-f(x))/h = ([(x+h)^3-4(x+h)+1]-[x^3-4x+1])/h = (3x^2+3xh+h^2-4)$
Poi puoi calcolarlo in qualsiasi $x$ ti piaccia!
Da quello che mi pare di capire tu fai confusione su come si calcola $f(x+h)$. Hai che devi sostituite la variabile $x$ con $x+h$, siccome $f(x)=x^3-4x+1$ implica che:
$f(x+h)=(x+h)^3-4(x+h)+1$
da questo il rapporti incrementale è:
$(f(x+h)-f(x))/h = ([(x+h)^3-4(x+h)+1]-[x^3-4x+1])/h = (3x^2+3xh+h^2-4)$
Poi puoi calcolarlo in qualsiasi $x$ ti piaccia!
"yader":
Sto cercando di capire come funziona il rapporto incrementale....La soluzione mi interessa ma prima vorrei capire....
Un esercizio svolto sul libro mi dice che il rapporto incrementale della funzione $f(x)=x^3 -4x +1$ è $((1+h)^3 -4(1+h) +1 -(1-4+1))/(h)$
Io da questo sto cercando di svolgere (sempre in base alla definizione) le altre derivate
Il rapporto incrementale di una funzione $f$ in un punto $x_0$ è la quantità $((f(x_0+h)-f(x_0))/h)$. Nei vari casi che hai citato, per capire che forma abbia tale rapporto, basta esplicitare chi sono $f(x_0+h)$ e $f(x_0)$.
Se prendiamo $f(x)=x^3-4x+1$, e vogliamo calcolare il rapporto incrementale in $x_0=1$, dobbiamo determinare $f(1+h)$.
Per farlo basta sostituire nell'espressione di $f$ al posto di $x$ il nostro $1+h$. Otteniamo così $f(1+h)=(1+h)^3-4(1+h)+1$.
Fino a qui ti è chiaro ?
Please HELP ME!!!!
Si fin qui è chiaro....Cortesemente possiamo fare l'esempio per $x_0=5$??
Comunque possiamo andare avanti
Gentilissimo
Comunque possiamo andare avanti
Gentilissimo
Nel caso da me seguito, basta che al risultato finale metti al posto della $x$, $5$! Quindi:
$3*5^2+3*5*h+h^2-4 = 71+15h+h^2$
$3*5^2+3*5*h+h^2-4 = 71+15h+h^2$
"yader":
Si fin qui è chiaro....Cortesemente possiamo fare l'esempio per $x_0=5$??
Comunque possiamo andare avanti
Gentilissimo
Se ti è chiaro dovresti dirci tu come si fa con $x_0=5$ ! Prova a scrivere cosa ti esce, noi controlleremo se è corretto. Nota che Lord K ti ha scritto l'espressione per un $x_0 qualsiasi $ facendoti vedere anche come la si ottiene. Io ti ho scritto come arrivare al rapporto incrementale di $f$ in 1. Con $5$ il procedimento è analogo.
Riassumo tutto ditemi se sbaglio...La funzione è $f(x)=x^3 -4x +1$ e stiamo considerando la derivabilità in $x_0=5$..
Quindi il rapp. incrementale è $((5+h)^3 -4(5+h) +1 -(5^3 - 4*5 + 1))/(h)=((125 + h^3 + 15h^2 + 75h) +1 - (125 -20 +1))/(h)$ e così via....
è giusto??
Quindi il rapp. incrementale è $((5+h)^3 -4(5+h) +1 -(5^3 - 4*5 + 1))/(h)=((125 + h^3 + 15h^2 + 75h) +1 - (125 -20 +1))/(h)$ e così via....
è giusto??
"yader":
Riassumo tutto ditemi se sbaglio...La funzione è $f(x)=x^3 -4x +1$ e stiamo considerando la derivabilità in $x_0=5$..
Quindi il rapp. incrementale è $((5+h)^3 -4(5+h) +1 -(5^3 - 4*5 + 1))/(h)=((125 + h^3 + 15h^2 + 75h) +1 - (125 -20 +1))/(h)$ e così via....
è giusto??
Non fa una piega il ragionamento. Occhio solo che nell'ultimo passaggio hai dimenticato un pezzo di espressione.
Ora, per stabilire se la funzione è derivabile e per avere l'eventuale valore della derivata nel punto, devi fare il limite per $h->0$ del rapporto incrementale che hai trovato.
Perfetto....Grazie per la pazienza...
Possiamo passare al mio problema iniziale...la derivata della funzione $f(x)=log(x^2 -1)$ nel punto $x=2$...
Il rapporto incrementale quindi dovrebbe venire $(log[(2 + h)^2 -1] - log[(2)^2 -1])/h = log(((2 + h)^2 -1)/((2)^2 -1))/(h)$
Fin qui ci siamo???
Possiamo passare al mio problema iniziale...la derivata della funzione $f(x)=log(x^2 -1)$ nel punto $x=2$...
Il rapporto incrementale quindi dovrebbe venire $(log[(2 + h)^2 -1] - log[(2)^2 -1])/h = log(((2 + h)^2 -1)/((2)^2 -1))/(h)$
Fin qui ci siamo???
"yader":
Perfetto....Grazie per la pazienza...
Possiamo passare al mio problema iniziale...la derivata della funzione $f(x)=log(x^2 -1)$ nel punto $x=2$...
Il rapporto incrementale quindi dovrebbe venire $(log[(2 + h)^2 -1] - log[(2)^2 -1])/h = log(((2 + h)^2 -1)/((2)^2 -1))/(h)$
Fin qui ci siamo???
Esattamente. A questo punto si tratta solo di risolvere il limite per $h->0$. Ora sto uscendo, ti lascio un piccolo suggerimento da guardare se proprio non ti esce.
grazie 1000...Ottimo forum veramente
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo