Derivata di un integrale definito
la mia domanda è:
come si fa la derivata di un integrale definito??
stavo facendo un esercizio,che metto qui sotto
$\lim_{x->0^+}1/x^3\int_0^(x^2)log(1+sqrt(t))dx$
e una situazione $0/0$ ,e quindi ideale per applicare Hospital,però non so bene come fare la derivata dell'integrale definito
potete aiutarmi?
ringrazio gia chiunque mi risponda
come si fa la derivata di un integrale definito??
stavo facendo un esercizio,che metto qui sotto
$\lim_{x->0^+}1/x^3\int_0^(x^2)log(1+sqrt(t))dx$
e una situazione $0/0$ ,e quindi ideale per applicare Hospital,però non so bene come fare la derivata dell'integrale definito
potete aiutarmi?
ringrazio gia chiunque mi risponda
Risposte
Teorema fondamentale del calcolo integrale!!
Tale teorema di dice che la funzione $G$ definita da $G(x)=\int_a^x f(t)dt$ ha come derivata $f$ in ogni punto in cui $f$ e' continua.
Questo di solito si dimostra se $f$ e' integrabile secondo Riemann ma e' ovvio che vale anche se, per esempio $f$ e' continua per
$x>a$ ed e' integrabile in senso improprio vicino ad $a$
Nel tuo caso $G(x)=\int_0^x\ln(1+\sqrt{t}) dt$ (NON $dx$ suppongo) e' derivabile in ogni $x>0$ e
$G'(x)=\ln(1+\sqrt{x})$. Per il teorema sulla derivata della funzione composta hai anche che
$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\ln(1+\sqrt{t}) dt=\frac{d}{dx}G(x^2)=2x G'(x^2)=2x \ln(1+|x|)$ - questo per ogni $x\ne 0$
Tale teorema di dice che la funzione $G$ definita da $G(x)=\int_a^x f(t)dt$ ha come derivata $f$ in ogni punto in cui $f$ e' continua.
Questo di solito si dimostra se $f$ e' integrabile secondo Riemann ma e' ovvio che vale anche se, per esempio $f$ e' continua per
$x>a$ ed e' integrabile in senso improprio vicino ad $a$
Nel tuo caso $G(x)=\int_0^x\ln(1+\sqrt{t}) dt$ (NON $dx$ suppongo) e' derivabile in ogni $x>0$ e
$G'(x)=\ln(1+\sqrt{x})$. Per il teorema sulla derivata della funzione composta hai anche che
$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\ln(1+\sqrt{t}) dt=\frac{d}{dx}G(x^2)=2x G'(x^2)=2x \ln(1+|x|)$ - questo per ogni $x\ne 0$
quindi fammi capire bene
tu prima hai fatto la derivata di $G(x)$,e poi hai fatto $G'(x^2)-G'(0)$??
o semplicemente hai fatto $G'(x^2)$ senza considerare lo 0?
tu prima hai fatto la derivata di $G(x)$,e poi hai fatto $G'(x^2)-G'(0)$??
o semplicemente hai fatto $G'(x^2)$ senza considerare lo 0?
"tall99":
quindi fammi capire bene
tu prima hai fatto la derivata di $G(x)$,e poi hai fatto $G'(x^2)-G'(0)$??
o semplicemente hai fatto $G'(x^2)$ senza considerare lo 0?
ho fatto la derivata di $x\mapsto G(x^2)$, che per la formula sulla derivata della funzione composta vale $G'(x^2)(2x)$.
Che c'incastra $G'(0)$?
ok grazie mille
non avevo capito bene
non avevo capito bene
Chiedo, riguardo all'argomento, un aiuto: devo fare la derivata di questa funzione
\(\displaystyle Q(t) = \int_0^{+\infty} \frac{1}{\tau} Exp(-\frac{s}{\tau}) N(t-s) ds \)
Il testo dell'esercizio suggerisce un cambio di variabile quindi posto \( x = t-s \) l'integrale diventa:
\( - \int_{-\infty}^{t} \frac{1}{\tau} Exp(\frac{x-t}{\tau}) N(x) dx \)
Come faccio ora a calcolare la derivata di questo integrale qui sopra?
SOLUZIONE Dovrebbe venire \( \frac{1}{\tau} (N(t) - Q(t)) \)
Help me!
\(\displaystyle Q(t) = \int_0^{+\infty} \frac{1}{\tau} Exp(-\frac{s}{\tau}) N(t-s) ds \)
Il testo dell'esercizio suggerisce un cambio di variabile quindi posto \( x = t-s \) l'integrale diventa:
\( - \int_{-\infty}^{t} \frac{1}{\tau} Exp(\frac{x-t}{\tau}) N(x) dx \)
Come faccio ora a calcolare la derivata di questo integrale qui sopra?
SOLUZIONE Dovrebbe venire \( \frac{1}{\tau} (N(t) - Q(t)) \)
Help me!
Mi sembra che, fatta la sostituzione, tu possa scrivere:
$Q(t)=Exp(-t/\tau)\int_{-\infty}^t\frac{1}{\tau}Exp(x/\tau)N(x) dx$
(attento che non c'è il meno). In questo modo hai un prodotto di due termini, di ognuno dei quali dovresti
essere in grado di fare la derivata.
$Q(t)=Exp(-t/\tau)\int_{-\infty}^t\frac{1}{\tau}Exp(x/\tau)N(x) dx$
(attento che non c'è il meno). In questo modo hai un prodotto di due termini, di ognuno dei quali dovresti
essere in grado di fare la derivata.
Gli estremi dell'integrale sono però \( -\infty \) e \( t \) e non \( \tau \), o sbaglio?
Hai ragione - correggo subito.
Grazie millissime! 
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