Derivata di ordine n/2
Buongiorno a tutti,
spero la domanda non sia sciocca o insensata, ma è legata ad un problema reale che devo risolvere, perciò ve la pongo:
qualcuno ha idea di come si calcoli una derivata di ordine "non naturale" di una funzione (per esempio quanto vale la derivata di ordine 1/2 di una qualsivoglia funzione elementare?)?
Ringrazio per le eventuali risposte..
spero la domanda non sia sciocca o insensata, ma è legata ad un problema reale che devo risolvere, perciò ve la pongo:
qualcuno ha idea di come si calcoli una derivata di ordine "non naturale" di una funzione (per esempio quanto vale la derivata di ordine 1/2 di una qualsivoglia funzione elementare?)?
Ringrazio per le eventuali risposte..
Risposte
Non è una cosa banale. Si tratta di una definizione collegata agli spazi di Sobolev; se ne parla su Gilardi, §5.72 pag.30. In certi casi la definizione si può semplificare usando la trasformata di Fourier.
Ti ringrazio molto per il link, purtroppo però non essendo un matematico (sono quasi un ingegnere!) non ho conoscenze di analisi funzionale. Ti chiedo perciò di perdonarmi se "banalizzo" un pò la questione:
se per esempio volessi calcolare la derivata (rispetto ad x) di ordine 3/2 di:
$ 3x^(2)+4x+5 $
come dovrei operare?
Spiego meglio ciò che intendo:
la derivata di ordine 1 è: $ 6x+4 $ , mentre quella di ordine 2 è 6 (banalmente). Ora: quanto vale la derivata di ordine 3/2?
se per esempio volessi calcolare la derivata (rispetto ad x) di ordine 3/2 di:
$ 3x^(2)+4x+5 $
come dovrei operare?
Spiego meglio ciò che intendo:
la derivata di ordine 1 è: $ 6x+4 $ , mentre quella di ordine 2 è 6 (banalmente). Ora: quanto vale la derivata di ordine 3/2?
Ah non ti so dire, mi dispiace, questo argomento non lo conosco né come un ingegnere né come un matematico! 
Sicuramente il conto che ti accingi a fare inizierà con il calcolare una trasformata di Fourier alla quale applicare qualche manipolazione algebrica per poi antitrasformare. Ma non so entrare più nel dettaglio, purtroppo.
Sicuramente il conto che ti accingi a fare inizierà con il calcolare una trasformata di Fourier alla quale applicare qualche manipolazione algebrica per poi antitrasformare. Ma non so entrare più nel dettaglio, purtroppo.
Ok, ti ringrazio molto. E ne approfitto per rinnovare la richiesta di aiuto al forum (è un calcolo che devo effettivamente risolvere per la tesi!)
E' una cosa che mi ero chiesto tante volte, se e' possibile eseguire una derivata di ordine non intero.
Credo che con calma e tempo daro' un occhio al link. Grazie.
Credo che con calma e tempo daro' un occhio al link. Grazie.
Credo che l'idea, usando Fourier, sia questa: se
$f(x)=\sum_{n\in ZZ}c_n e^{i n x}$ (suppongo $f:[0,2\pi]\to CC$ e periodicizzata per usare la serie di Fourier, se no ci vuole la trasformata) allora
$f'(x)=\sum_{n\in ZZ}c_n i n e^{i n x}$ e ricorsivamente $f^{(k)}(x)=\sum_{n\in ZZ}c_n (i n)^k e^{i n x}$ - in questa ultima formula, (a parte problemi di definire
la potenza non intera di un complesso) non si vede perchè non si possa prendere $k$ fuori dagli interi.
$f(x)=\sum_{n\in ZZ}c_n e^{i n x}$ (suppongo $f:[0,2\pi]\to CC$ e periodicizzata per usare la serie di Fourier, se no ci vuole la trasformata) allora
$f'(x)=\sum_{n\in ZZ}c_n i n e^{i n x}$ e ricorsivamente $f^{(k)}(x)=\sum_{n\in ZZ}c_n (i n)^k e^{i n x}$ - in questa ultima formula, (a parte problemi di definire
la potenza non intera di un complesso) non si vede perchè non si possa prendere $k$ fuori dagli interi.
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