Derivata di funzioni con valore assoluto e funzione segno

[Infrid]

salve a tutti,
mi sto cimentando con l'analisi della funzione

$ |x+1|e^\frac{1}{x}$

e giungo alla derivata prima; derivo trattando $|x+1|$ e $e^\frac{1}{x}$ come due funzioni e proseguo alla derivazione per prodotto di funzioni

$\frac{|x+1|}{x+1}e^\frac{1}{x} + |x+1|e^\frac{1}{x}(-\frac{1}{x^2})$

che raccogliendo diventa

$|x+1|e^\frac{1}{x}(\frac{1\}{x+1}-\frac{1}{x^2})$

il che non è molto difficile da studiare, però vedo scritta la derivata (su degli appunti) come

$\frac{e^\frac{1}{x}(x^2 - x - 1)SGN(x + 1)}{x^2}$

quello che mi chiedo, come ha fatto? io sapevo che la derivata di una funzione in valore assoluto è $\partial( |f(x)| )=\frac{|f(x)|}{f(x)}f'(x)$ e non conoscevo la funzione segno, è più agevole rispetto al metodo che utilizzo io? la derivata seconda con il metodo che uso abitualmente diventa molto complessa mentre sempre sugli appunti vedo scritto

$\frac{e^\frac{1}{x}(3x + 1)SGN(x + 1)}{x^4}$

per me sarebbe molto comodo capire il procedimento utilizzato ma ho poca dimestichezza con la funzione segno, qualcuno è così gentile da illustrarmi i passaggi fatti per arrivare a quella funzione lì?

grazie mille!

[cntrone]

allora vediamo un pò..

prima di tutto la derivata del valore assoluto è la funzione segno...vista in questo modo puoi ricondurti a quel risultato..

infatti hai $sgn(x+1)e^(1/x)+|x+1|e^(1/x)(-1/x^2)$

inoltre ho notato per la prima volta anch'io che $|x+1|$ può essere scritto come $sgn(x+1)(x+1)$

quindi ottiemi che

$(e^(1/x)sgn(x+1)(x^2-x-1))/x^2$

per la tua domanda su quale metodo usare..credo che dipenda sempre dal caso che devi studiare..

[Infrid]

bene, grazie.

tenendo presente che

$sgn(f(x))=\{(-1 :f(x) < 0),(0 :f(x) = 0),(1 :f(x) > 0):}$

quindi nel mio caso

$sgn(x+1)=\{(-1 : x < -1),(0 : x = -1),(1 : x > -1):}$

giusto?

per studiare il segno di

$\frac{e^\frac{1}{x}(x^2 - x - 1)SGN(x + 1)}{x^2}$

considero solo

$e^\frac{1}{x}(x^2 - x - 1)SGN(x + 1)$

- tenendo presente che la funzione $e$ è sempre positiva
- che $SNG(x+1)$ è positiva per $x>-1$
- $x^2 -x -1 > 0$ ottengo $xx_2$ dove $x_1 = \frac{1-sqrt(5)}{2}$ e $x_2 = \frac{1+sqrt(5)}{2}$

e mi costruisco la tabella dei segni, giusto?

adesso per fare la derivata seconda mi interessa conoscere la derivata della funzione $sng(x+1)$ che stando a wikipedia dovrebbe venire qualcosa che ha a che fare con la delta di dirac
come affronto questa cosa?
posso fare la derivata di $\frac{|x+1|}{x+1}$ ?

[cntrone]

$sgn(x+1)>=0$ se $x>=-1$... per il resto sembra tutto giusto...

[Infrid]

grazie mille!