Derivata di funzioni a due variabili
Ciao, sono uno stundente liceale, mi sono diplomato quest'anno quindi le mie conoscenze si limitano ad Analisi I, per cui mi scuso previamente se la mia domanda vi risulterà stupida.
Oggi stavo pensando al fatto che la derivata di un funzione $f(x)$ ci permetta di conoscere il coefficiente angolare della retta tangente alla suddetta funzione in un suo punto $x0$ e mi sono domandato se nel caso di una funzione a due variabili di tipo $f(x,y)$ ci sia uno strumento matematico (simile alla derivata) che permetta di ricavare l'equazione del piano tangente alla funzione in un punto di coordinate $(x0,y0)$.
Potreste farmi un esempio magari di un esercizio banale?
Oggi stavo pensando al fatto che la derivata di un funzione $f(x)$ ci permetta di conoscere il coefficiente angolare della retta tangente alla suddetta funzione in un suo punto $x0$ e mi sono domandato se nel caso di una funzione a due variabili di tipo $f(x,y)$ ci sia uno strumento matematico (simile alla derivata) che permetta di ricavare l'equazione del piano tangente alla funzione in un punto di coordinate $(x0,y0)$.
Potreste farmi un esempio magari di un esercizio banale?
Risposte
Ciao! 
Quello che chiedi, per funzioni $f:RR^n->RR$(e anche un po' più in generale), esiste e si chiama gradiente di una funzione.
in dimensione uno si ha
analogamente, in dimensione due
dove la quantità $pi(h)=f(x)+nablaf(x)*vec(h)$ è l'analogo, in dimensione superiore, della retta tangente.
Solo che quì parliamo di un iperpiano tangente.
Esempio
considera la funzione $f(x,y)=x^2+y^2$.
Come vedrai studiando il suo gradiente sarà $nablaf(x,y)=(2x,2y)$ quindi se prendiamo per esempio il punto $P=(1,1)$ possiamo considerare il piano tangente in tale punto come
il $*$ sta per prodotto scalare.
In genere si usano: prodotto scalare standard di $RR^n$ e base canonica, quindi lavorando sempre con queste due si finisce per impiccicarsi una regoletta in testa.
Quello che chiedi, per funzioni $f:RR^n->RR$(e anche un po' più in generale), esiste e si chiama gradiente di una funzione.
in dimensione uno si ha
$f(x)=f(x_0)+f'(x)*(x-x_0)+o(x-x_0)$
analogamente, in dimensione due
$f(x)=f(x_0)+nablaf(x)*vec(x-x_0)+o(||x-x_0||)$[nota]in questo caso $(x-x_0)$ è un vettore[/nota]
dove la quantità $pi(h)=f(x)+nablaf(x)*vec(h)$ è l'analogo, in dimensione superiore, della retta tangente.
Solo che quì parliamo di un iperpiano tangente.
Esempio
considera la funzione $f(x,y)=x^2+y^2$.
Come vedrai studiando il suo gradiente sarà $nablaf(x,y)=(2x,2y)$ quindi se prendiamo per esempio il punto $P=(1,1)$ possiamo considerare il piano tangente in tale punto come
$pi(x,y)=f(1,1)+nablaf(1,1)*(x-1,y-1)=2+2(x-1)+2(y-1)$
il $*$ sta per prodotto scalare.
In genere si usano: prodotto scalare standard di $RR^n$ e base canonica, quindi lavorando sempre con queste due si finisce per impiccicarsi una regoletta in testa.
Grazie per la risposta!! Capisco ora perchè si tratta in Analisi II
attento: analisi 2 non significa analisi di funzioni di due variabili reali.
si si certo. Ritornando al mio quesito, come si potrebbe calcolare l'equazione del piano tangente alla funzione $z=x^3+y^2$ nel punto di coordinate (2,3)?
Sapresti mostrarmi il procedimento di calcolo?
Sapresti mostrarmi il procedimento di calcolo?
"anto_zoolander":
Esempio
considera la funzione $f(x,y)=x^2+y^2$.
Come vedrai studiando il suo gradiente sarà $nablaf(x,y)=(2x,2y)$ quindi se prendiamo per esempio il punto $P=(1,1)$ possiamo considerare il piano tangente in tale punto come
$pi(x,y)=f(1,1)+nablaf(1,1)*(x-1,y-1)=2+2(x-1)+2(y-1)$
il $*$ sta per prodotto scalare.
In genere si usano: prodotto scalare standard di $RR^n$ e base canonica, quindi lavorando sempre con queste due si finisce per impiccicarsi una regoletta in testa.
Grazie Mille!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo