Derivata di funzione integrale
Buonasera,
devo calcolare $F'(x)$ con $F(X)= int_(0)^(x^2) e^(-2t) dt $
a ragionamento, credo che valga la regola: $ int_(0)^(f(x))g(t) dt=g(f(x))*f'(x) $
usando il teorema fondamentale del calcolo integrale.
E' corretto? Come si può far vedere questo facilmente?
Partendo da $ F(x)=int_(0)^(x )g(t) dt=>F'(x)=g(x) $
Per il primo esercizio è corretta la soluzione $2xe^(-2x^2)$?
Grazie mille.
devo calcolare $F'(x)$ con $F(X)= int_(0)^(x^2) e^(-2t) dt $
a ragionamento, credo che valga la regola: $ int_(0)^(f(x))g(t) dt=g(f(x))*f'(x) $
usando il teorema fondamentale del calcolo integrale.
E' corretto? Come si può far vedere questo facilmente?
Partendo da $ F(x)=int_(0)^(x )g(t) dt=>F'(x)=g(x) $
Per il primo esercizio è corretta la soluzione $2xe^(-2x^2)$?
Grazie mille.
Risposte
Basta usare il teorema di derivazione della funzione composta.
Fissiamo un attimo le notazioni (nel tuo messaggio ci sono diversi errori): supponiamo che \(g\) sia una funzione continua in un intervallo \(I\) e definiamo la sua funzione integrale (rispetto al punto \(a\in I\))
\[
G(x) := \int_a^x g(t)\, dt, \qquad x\in I.
\]
Il teorema fondamentale del calcolo ci dice che \(G\) è di classe \(C^1\) e \(G'(x) = g(x)\), \(x\in I\).
Se adesso è data una funzione \(f\) derivabile, a valori in \(I\), il teorema di derivazione della funzione composta ci dice che la funzione
\[
H(x) := G(f(x)) = \int_a^{f(x)} g(t)\, dt
\]
è derivabile e si ha \(H'(x) = G'(f(x))\, f'(x) = g(f(x))\, f'(x)\).
Fissiamo un attimo le notazioni (nel tuo messaggio ci sono diversi errori): supponiamo che \(g\) sia una funzione continua in un intervallo \(I\) e definiamo la sua funzione integrale (rispetto al punto \(a\in I\))
\[
G(x) := \int_a^x g(t)\, dt, \qquad x\in I.
\]
Il teorema fondamentale del calcolo ci dice che \(G\) è di classe \(C^1\) e \(G'(x) = g(x)\), \(x\in I\).
Se adesso è data una funzione \(f\) derivabile, a valori in \(I\), il teorema di derivazione della funzione composta ci dice che la funzione
\[
H(x) := G(f(x)) = \int_a^{f(x)} g(t)\, dt
\]
è derivabile e si ha \(H'(x) = G'(f(x))\, f'(x) = g(f(x))\, f'(x)\).
Scusa, ho notato ora gli errori.
Devo aver scritto troppo in fretta. Noto ora anche che ho per sbaglio scritto il testo dell'esercizio prima.
Ho sistemato. Comunque per il ragionamento tutto fila, grazie mille!
Rivedendo ora il primo post, l'esercizio è svolto correttamente, vero?
Devo aver scritto troppo in fretta. Noto ora anche che ho per sbaglio scritto il testo dell'esercizio prima.
Ho sistemato. Comunque per il ragionamento tutto fila, grazie mille!
Rivedendo ora il primo post, l'esercizio è svolto correttamente, vero?
Direi di sì.
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