Derivata di funzione di funzione

[Iris941]

Salve a tutti,
ho la funzione $f(x(x_1,y_1),y(x_1,y_1))$ e devo calcolare la derivata (stavamo parlando di trasformare le variabili da $(x,y)$ a $(x_1,y_1)$)

non so se sia :
1) $(df)/dx = (df)/dx (dx)/(dx_1) + (df)/dy (dy)/(dx_1)$

$(df)/dy = (df)/dx (dx)/(dy_1) + (df)/dy (dy)/(dy_1)$

oppure:
2) $(df)/dx = (df)/(dx_1) (dx_1)/dx + (df)/(dy_1) (dy_1)/dx$

$(df)/dy = (df)/(dx_1) (dx_1)/dy + (df)/(dy_1) (dy_1)/dy$

io vedendo la formula su un libro che dice data $f(g(t),h(t))$
$(df)/dt = (df)/(dg) (dg)/(dt) + (df)/(dh) (dh)/(dt)$

e quindi ho calcolato la derivata del mio problema basandomi su quella del libro ottenendo il primo caso proposto....ma la mia prof ha scritto il secondo caso...adesso vorrei capire dove sbaglio e qual è la regola generale

p.s. scusate se non ho fatto differenza tra il simbolo di derivata e derivata parziale ma non sapevo come farli >.<

[donald_zeka]

Sono entrambe sbagliate, f è funzione di $x$ e $y$, che a loro volta sono funzioni di $x_1$ e $y_1$, vale:

$(partialf)/(partialx_1)=(partialf)/(partialx)(partialx)/(partialx_1)+(partialf)/(partialy)(partialy)/(partialx_1)$

stessa cosa con la derivata rispetto a $y_1$

che è proprio la formula del libro

[Iris941]

mi potrebbe spiegare il procedimento quando al posto di $t$ ho n variabili ?

ho dimenticato di dire che
$x = x_1$

$c^(-1) y = y_1$

con c una costante....cambierebbe qualcosa ?

perché la prof alla fine trova :

$(df)/dx$ = $(df)/(dx_1)$

$(df)/dy$ = $(c^-1) (df)/(dy_1)$


con $x=x(x_1,y_1)$ e $y=y(x_1.y_1)$

[donald_zeka]

Non c'è alcuna differenza, la derivata parziale si fa rispetto a una variabile, quindi ci si riduce sempre a quella formula, come vedi infatti sono uguali (a parte la presenza della derivata parziale).

ho dimenticato di dire che

$x=x1$

$c−1y=y1$

con c una costante....cambierebbe qualcosa ?

Sinceramente non penso di aver capito, intendi forse che $x(x_1,y_1)=x_1$ e $y(x_1,y_1)=cy_1$? se si allora non cambia niente, hai solo definito esplicitamente la dipendenza di x e y da $x_1$ e $y_1$ e quindi puoi calcolarti la derivata:

$(partialx)/(partialx_1)=1$
$(partialx)/(partialy_1)=0$

$(partialy)/(partialy_1)=c$
$(partialy)/(partialx_1)=0$

e sostituirle in quella formula e ottieni quello ottenuta dalla tua prof.

[Iris941]

per il passaggio della prof sembrerebbe che lei avesse fatto la derivata di $f(x_1(x,y),y_1(x,y))$

anche se il risultato è uguale alla derivata di $f(x(x_1,y_1),y(x_1,y_1))$ come mai ?

[donald_zeka]

Se la formula scritta dalla tua prof é la seconda che hai scritto all inizio allora é sbagliata perche x è funzione di x1 quindi la derivata (dx1)/(dx) non ha senso perche x1 è una variabile non una funzione, il fatto che i risultati siano uguali è solo un caso, è sbagliato per principio, la formula giusta di derivazione è quella che ti ho scritto io

[Iris941]

quindi sarebbe come fare ad esempio dx/df ed è sbagliato...

grazie mille per l'aiuto nonostante sia anche abbastanza tardi

[donald_zeka]

Se hai f(x,y) è chiaro che la derivata dx/ df non ha senso

[Iris941]

Ok grazie di tutto ^^