Derivata di funzione composta con logaritmo come esponente
Salve ho una derivata all'apparenza molto semplice:
\(\displaystyle (x^2+1) \) elevato al log(x).
la soluzione del libro e:
(x^2+1)^log(x) ((log(x^2+1)/x)+(2xlog(x))/x^2+1))
xke???
essendo una funzione composta il risultato non dovrebbe essere:
(((x^2+1)^log(x))/x)2x??
\(\displaystyle (x^2+1) \) elevato al log(x).
la soluzione del libro e:
(x^2+1)^log(x) ((log(x^2+1)/x)+(2xlog(x))/x^2+1))
xke???
essendo una funzione composta il risultato non dovrebbe essere:
(((x^2+1)^log(x))/x)2x??
Risposte
Ciao
io ti suggerirei di vederla in questo modo.
La funzione di partenza è
$(x^2 + 1) ^(ln(x))$
che in effetti è un po' ostica da derivare
usando la proprietà del logaritmi secondo la quale
$a^b = e^(b\cdot ln(a))$
ottieni che
$(x^2 + 1) ^(ln(x)) = e^(ln(x) \cdot ln(x^2 + 1)$
a questo punto hai una situazione evidente di derivata di funzione di funzione dove la prima funzione da derivare è l'esponenziale
e la seconda funzione da derivare è il prodotto di funzioni che hai come esponente.
Da qui in poi tu lasci andare avanti...
se hai ancora dubbi chiedi pure
io ti suggerirei di vederla in questo modo.
La funzione di partenza è
$(x^2 + 1) ^(ln(x))$
che in effetti è un po' ostica da derivare
usando la proprietà del logaritmi secondo la quale
$a^b = e^(b\cdot ln(a))$
ottieni che
$(x^2 + 1) ^(ln(x)) = e^(ln(x) \cdot ln(x^2 + 1)$
a questo punto hai una situazione evidente di derivata di funzione di funzione dove la prima funzione da derivare è l'esponenziale
e la seconda funzione da derivare è il prodotto di funzioni che hai come esponente.
Da qui in poi tu lasci andare avanti...
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ciao ely
benvenuta sul forum
leggi con attenzione il tool sulle formule (box rosa in alto)
e modifica il tuo primo messaggio rendendolo più leggibile
in generale cerca di scrivere usando sempre il segno del dollaro all'inizio e alla fine delle formule, così gli altri forumisti saranno più invogliati a leggere ed eventualmente a rispondere ai tuoi messaggi.
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Ciao ely92,
La funzione proposta è la seguente:
$y = (x^2 + 1)^{ln x} $
che è del tipo $y = [f(x)]^{g(x)} $. Se $f(x) > 0 $ e $f(x) $ e $ g(x) $ sono derivabili, come nel caso della funzione proposta, esiste una regola per il calcolo della derivata:
$ y' = [f(x)]^{g(x)} [g'(x) ln[f(x)] + frac{g(x)f'(x)}{f(x)}] $
Nel caso in esame si ha
$ y' = (x^2 + 1)^{ln x} [frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1}] $
che mi pare corrisponda alla soluzione riportata sul tuo libro. Dato che la regola sopra riportata non è semplice da ricordare, tipicamente si procede per via diretta, "ricostruendo" la regola di volta in volta. A tal fine, o si procede come ti ha già scritto Summerwind78, oppure anche nel modo seguente:
$y = (x^2 + 1)^{ln x} \implies ln y = ln (x^2 + 1)^{ln x} \implies ln y = ln x \cdot ln(x^2 + 1) $
Derivando si ha:
$ 1/y cdot y' = 1/x \cdot ln(x^2 + 1) + frac{2x}{x^2 + 1} \cdot ln x $
$frac{y'}{y} = frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1} \implies y' = y [frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1}] \implies $
$ \implies y' = (x^2 + 1)^{ln x} [frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1}] $
ritrovando naturalmente lo stesso risultato già scritto sopra.
La funzione proposta è la seguente:
$y = (x^2 + 1)^{ln x} $
che è del tipo $y = [f(x)]^{g(x)} $. Se $f(x) > 0 $ e $f(x) $ e $ g(x) $ sono derivabili, come nel caso della funzione proposta, esiste una regola per il calcolo della derivata:
$ y' = [f(x)]^{g(x)} [g'(x) ln[f(x)] + frac{g(x)f'(x)}{f(x)}] $
Nel caso in esame si ha
$ y' = (x^2 + 1)^{ln x} [frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1}] $
che mi pare corrisponda alla soluzione riportata sul tuo libro. Dato che la regola sopra riportata non è semplice da ricordare, tipicamente si procede per via diretta, "ricostruendo" la regola di volta in volta. A tal fine, o si procede come ti ha già scritto Summerwind78, oppure anche nel modo seguente:
$y = (x^2 + 1)^{ln x} \implies ln y = ln (x^2 + 1)^{ln x} \implies ln y = ln x \cdot ln(x^2 + 1) $
Derivando si ha:
$ 1/y cdot y' = 1/x \cdot ln(x^2 + 1) + frac{2x}{x^2 + 1} \cdot ln x $
$frac{y'}{y} = frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1} \implies y' = y [frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1}] \implies $
$ \implies y' = (x^2 + 1)^{ln x} [frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1}] $
ritrovando naturalmente lo stesso risultato già scritto sopra.
"pilloeffe":
Ciao ely92,
oppure anche nel modo seguente:
$ y = (x^2 + 1)^{ln x} \implies ln y = ln (x^2 + 1)^{ln x} \implies ln y = ln x \cdot ln(x^2 + 1) $
Derivando si ha:
$ 1/y cdot y' = 1/x \cdot ln(x^2 + 1) + frac{2x}{x^2 + 1} \cdot ln x $
$ frac{y'}{y} = frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1} \implies y' = y [frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1}] \implies $
$ \implies y' = (x^2 + 1)^{ln x} [frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1}] $
ritrovando naturalmente lo stesso risultato già scritto sopra.
Interessante questo metodo!
Non ci avevo pensato.
Ne prenderò spunto per la prossima volta
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