Derivata di funzione

[steppox]

Ciao ragazzi! Anche oggi sono a chiedere aiuto/conferme.
La derivata di:
$sqrt(1-log _(1/2)^2cosx$
l'ho calcolata come:
$1/(2sqrt(1-log _(1/2)^2cosx))\cdot [ -(2log_(1/2)cosx)\cdot(1/cosx)\cdot(-senx)\cdotlog_(1/2)e]$
Ma come al solito non ne sono sicuro...
è corretta?
Se non lo è, cosa ho sbagliato? Mi serve per calcolare la monotonia della funzione
P.s. quando vado a fare il falso sistema, devo cambiare i segni di tutto quello che c'è nelle parentesi quadre (in virtù del meno che c'è dopo la parentesi quadra)?
Cioè dovrei mettere a sistema:

$2sqrt(1-log _(1/2)^2cosx)$

$-2log_(1/2)cosx$

$-1/cosx$

$senx$

$-log_(1/2)e$

Come sempre vi ringrazio infinitamente!

[HaldoSax]

Ciao steppox la derivata è quasi giusta. In questi casi ti suggerisco di cambiare base al logaritmo:
\begin{equation}
log_{a}x=\frac{logx}{log(a)}
\end{equation}

In questo modo al denominatore avresti $log(1/2)=-log2$ e i conti ti si dovrebbero semplificare un poco. Seconda cosa se vuoi vedere se i tuoi limiti sono giusti questo sito, http://www.wolframalpha.com/, ti mostra immediatamente il risultato.
Cosa sarebbe il falso sistema? è un termine che non ho mai sentito.

Buona giornata

[steppox]

"HaldoSax":Ciao steppox la derivata è quasi giusta. In questi casi ti suggerisco di cambiare base al logaritmo:
\begin{equation}
log_{a}x=\frac{logx}{log(a)}
\end{equation}

In questo modo al denominatore avresti $log(1/2)=-log2$ e i conti ti si dovrebbero semplificare un poco. Seconda cosa se vuoi vedere se i tuoi limiti sono giusti questo sito, http://www.wolframalpha.com/, ti mostra immediatamente il risultato.
Cosa sarebbe il falso sistema? è un termine che non ho mai sentito.

Buona giornata

Innanzitutto grazie della risposta!!!
In che senso la derivata è "quasi giusta"? Cioè qual è l'errore?
Per quanto riguarda il falso sistema (non so se abbia un nome "tecnico"), è quello a cui faccio ricorso per risolvere la disequazione:
$1/(2sqrt(1-log _(1/2)^2cosx))\cdot [ -(2log_(1/2)cosx)\cdot(1/cosx)\cdot(-senx)\cdotlog_(1/2)e]>0$
al fine di studiare la monotonia. Cioè lo stesso metodo per risolvere disequazioni fratte...
A tal proposito metto a "sistema" tutti gli elementi della derivata ponendoli ciascuno >0 e alla fine ne studio i segni per vedere dove la funzione cresce e dove decresce. Per questo avevo chiesto se dovevo cambiare tutti i segni nella parentesi quadra. Non so se ho reso l'idea ma spero di si.
E buona giornata anche a te

[HaldoSax]

Scherzavo mi ha tratto in inganno il fattore $log_{1/2}e$, perché ottenevo $-1/log2$. Maledetti logaritmi che si possono scrivere in più modi :D:D:D:D:D.
Per quanto riguarda i segni non ci sono problemi in quanto non sono legati agli argomenti delle funzioni, $sen(-x)$. E' come se tu avessi $(-3)*(-2)*(-1)$. L'interno della parentesi quadra è positivo. Puoi notare anche che hai una tangente e quindi ridurti lo studo dei fattori

[steppox]

Ti ringrazio! Ma comunque mi sto dannando nel tentare di farla... potresti (o qualcun altro potrebbe) dirmi cosa va fatto esattamente? Cioè vorrei sapere cosa va messo a sistema e con quale segno... ormai non riesco più a ragionarci

[steppox]

Up!
Qualcuno riesce ad aiutarmi?
Io ho fatto il falso sistema con:

$2sqrt(1-log _(1/2)^2cosx)$

$-2log_(1/2)cosx$

$-1/cosx$

$senx$

$-log_(1/2)e$

ma non credo sia giusto...
Grazie

[HaldoSax]

Ciao steppox . Dunque hai questa disequazione:

\begin{equation}

\frac{2 sen(x) log_{1/2}(e) log_{1/2}(cosx)}{2 cos(x)\sqrt{1-log^2_{1/2}(cosx)}}\ge0
\end{equation}

Ti consiglio di cambiare la base del logaritmo, così non hai problemi con segni vari in quanto la base è $<1$.
$log_{1/2}(cosx)=-log(cosx)/log2$.
$log_{1/2}e=-1/log2$

\begin{equation}
\frac{2 sen(x) log(e) log(cosx)}{2 log^2(2)cos(x) \sqrt{1-(\frac{log(cosx)}{log2})^2}}\ge0
\end{equation}

Numeratore:

Primo fattore:
$log(cosx)/log2\ge0$ ----------> $log(cosx)\gelog(1)$=$cos(x)\ge1$ ------> non esiste $x$

Secondo fattore:
$sen(x)>0$ --------------> $2\pi\le x \le 2 k\pi+\pi$

Denominatore:

Primo fattore:
$cos(x)>0$-------->$-\pi/2+2k\pi
Secondo fattore:

$\sqrt{1-(\frac{log(cosx)}{log2})^2}>0$-------->$1-(\frac{log(cosx)}{log2})^2>0$ -------> $2k\pi
Soluzione:

Fai il grafico dei segni e dovresti trovare la soluzione.
Spero che quello che ho scritto sia corretto, dagli un occhio.

[steppox]

Ciao e grazie! Scusa se rispondo adesso ma ho avuto solo ora la possibilità di controllare. Ho fatto il grafico ma i risultati sono diversi da quello che dovrebbe essere il grafico della funzione...
Riprovo a chiedere, magari ho più fortuna. Ho calcolato la derivata di:
$sqrt(1-log _(1/2)^2cosx$
come:
$1/(2\cdot sqrt(1-log _(1/2)^2cosx))\cdot (-2log_(1/2)^2cosx)\cdot(-1/cosx)\cdot(senx)\cdotlog_(1/2)e$
Innanzitutto chiedo: la derivata è corretta?
Poi sono passato al falso sistema, per il quale:

$2\cdot sqrt(1-log _(1/2)^2cosx)>0$ -----------> $-\pi/3+2k\pi

$-2log_(1/2)^2cosx$ (direi mai verificata ma non ne sono certo)


$-1/cosx>0$ ---------> $-tgx>0$ ------> $tgx<0$ ----------> $-\pi/2+2k\pi

$senx>0$ ---------> $0+2k\pi

$log_(1/2)e>0$ ----------> non è mai verificata

Ad ogni modo studiando i segni, non coincidono con quello che dovrebbe essere il grafico della funzione, dunque i miei risultati sono sbagliati... Qualcuno riesce ad aiutarmi, magari correggendo i miei risultati dove sono sbagliati?
Grazie in anticipo... sono quasi disperato

[HaldoSax]

Ciao Steppox , primo errore $1/cosx\ne tgx$.
Studio del denominatore corretto. Per il numeratore cambia la base del logaritmo, eviti problemi di segno

$ log_{1/2}(cosx)=-log(cosx)/log2 $
$ log_{1/2}e=-1/log2 $

non ti compare il termine $log_{1/2}e$.

La derivata in pratica è: $(log(cos(x)) tan(x))/(log^2(2) sqrt(1-(log^2(cos(x)))/(log^2(2))))$

Numeratore:

$log(cos(x))>0$ -----------> non esiste $x$, nel grafico dei segni bisogna mettere i segni negativi.
$tan(x)>0$------>$ k\pi
Denominatore:

$ 2\cdot sqrt(1-log _(1/2)^2cosx)>0 $-------------->$ -\pi/3+2k\pi
Ottieni un massimo in $(0,1)$ un minimo in $(-\pi/3,0)$ e in $(\pi/3,0)$

Il grafico è il seguente:

[steppox]

"HaldoSax":Ciao Steppox , primo errore $1/cosx\ne tgx$.
Studio del denominatore corretto. Per il numeratore cambia la base del logaritmo, eviti problemi di segno

$ log_{1/2}(cosx)=-log(cosx)/log2 $
$ log_{1/2}e=-1/log2 $

non ti compare il termine $log_{1/2}e$.

La derivata in pratica è: $(log(cos(x)) tan(x))/(log^2(2) sqrt(1-(log^2(cos(x)))/(log^2(2))))$

Numeratore:

$log(cos(x))>0$ -----------> non esiste $x$, nel grafico dei segni bisogna mettere i segni negativi.
$tan(x)>0$------>$ k\pi
Denominatore:

$ 2\cdot sqrt(1-log _(1/2)^2cosx)>0 $-------------->$ -\pi/3+2k\pi
Ottieni un massimo in $(0,1)$ un minimo in $(-\pi/3,0)$ e in $(\pi/3,0)$

Il grafico è il seguente:

Ciao HaldoSax e grazie per l'infinita pazienza!!!
Grazie alla tua spiegazione ora credo di aver capito, quindi per conferma provo a farlo anche con il "mio" metodo (per quanto effettivamente sia meno conveniente). Allora la derivata l'avevo scritta come:
$1/(2\cdot sqrt(1-log _(1/2)^2cosx))\cdot (-2log_(1/2)cosx)\cdot(-1/cosx)\cdot(senx)\cdotlog_(1/2)e$
Semplificando il 2 al numeratore ed al denominatore, e scrivendo $(senx)/(cosx)=tanx$ ottengo:
$1/(sqrt(1-log _(1/2)^2cosx))\cdot (-log_(1/2)cosx)\cdot(-tanx)\cdotlog_(1/2)e$
Ora, studiando i fattori ottengo:

$sqrt(1-log _(1/2)^2cosx)>0$ -----------> $-\pi/3+2k\pi

$-log_(1/2)cosx>0$ ---------------> non esiste $x$


$-tanx>0$ ----------> $-\pi/2+2k\pi

$log_(1/2)e>0$ -------------> non esiste $x$

Da questo, studiando i segni, ottengo che la funzione è crescente per $-\pi/3+2k\pi proprio come nella foto che hai postato!!! E corretto così???

[HaldoSax]

Ciao steppox c'è un solo errore. Quando scrivi $ log_(1/2)e>0 $. Non puoi dire che non esiste $x$ in quanto la $x$ non compare.
La tua derivata è:
$ y'=1/(sqrt(1-log _(1/2)^2cosx))\cdot (-log_(1/2)cosx)\cdot(-tanx)\cdotlog_(1/2)e = 1/(sqrt(1-log _(1/2)^2cosx))\cdot (log_(1/2)cosx)\cdot(tanx)\cdotlog_(1/2)e $

Nota che è diventata positiva, consiglio spassionato evita i meno come la peste pensa positivo.
Devi porre $y'\ge0$ ma $ log_(1/2)e<0 $ quindi devi studiare $y'\le0$. E' come se avessi $-4x>0$ quindi $x<0$ solo che nel tuo caso il meno è nascosto.

[steppox]

"HaldoSax":Ciao steppox c'è un solo errore. Quando scrivi $ log_(1/2)e>0 $. Non puoi dire che non esiste $x$ in quanto la $x$ non compare.
La tua derivata è:
$ y'=1/(sqrt(1-log _(1/2)^2cosx))\cdot (-log_(1/2)cosx)\cdot(-tanx)\cdotlog_(1/2)e = 1/(sqrt(1-log _(1/2)^2cosx))\cdot (log_(1/2)cosx)\cdot(tanx)\cdotlog_(1/2)e $

Nota che è diventata positiva, consiglio spassionato evita i meno come la peste pensa positivo.
Devi porre $y'\ge0$ ma $ log_(1/2)e<0 $ quindi devi studiare $y'\le0$. E' come se avessi $-4x>0$ quindi $x<0$ solo che nel tuo caso il meno è nascosto.

Si scusa hai ragione... intendevo dire che la condizione non è mai verificata. Perdonami se ne approfitto ma vorrei chiederti un'altra cosa per evitare di aprire un nuovo topic. Sto studiando la funzione scritta nel primo messaggio, cioè:
$sqrt(1-log _(1/2)^2cosx$
devo verificare l'esistenza di asintoti e vorrei sapere esattamente come si fa. Mi spiego meglio. Mi è stato detto che per trovare gli asintoti occorre calcolare il limite della funzione negli aperti del dominio e poi in base ai risultati si vede se c'è asintoto orizzontale, verticale oppure obliquo (o se non c'è nessun asintoto).
Cioè, se considero una funzione che ha come C.E. $]\-infty,+\infty[$ dovrei calcolare il limite della funzione per $x\rightarrow-\infty$ e per $x\rightarrow+\infty$
O ancora se avessi una funzione il cui C.E. sia $[0,+3[\cup]+3,+7[$
dovrei calcolare il limite per $x\rightarrow+3$ (da sx e da dx) e per $x\rightarrow+7^-$
Quindi nel caso della mia funzione, il C.E. $[-\pi/3+2k\pi,\pi/3+2k\pi]$ è chiuso. Quindi in questo caso posso dire subito che non ci sono asintoti? Oppure devo procedere diversamente?

P.S. conosco il procedimento da fare una volta calcolato il limite, quello che vorrei sapere è soltanto come "impostare" i limiti, cioè se davvero basta semplicemente calcolarli negli aperti del dominio. Grazie!!!

[HaldoSax]

Se provi a pensarci un attimo gli estremi del dominio inclusi ti danno sempre un valore finito, questo vuol dire che la funzione parte da quel punto. Un asintoto vuol dire che la funzione sta tendendo a quel valore ma non lo raggiungerà mai.

[steppox]

"HaldoSax":Se provi a pensarci un attimo gli estremi del dominio inclusi ti danno sempre un valore finito, questo vuol dire che la funzione parte da quel punto. Un asintoto vuol dire che la funzione sta tendendo a quel valore ma non lo raggiungerà mai.

Grazie mille! Ovviamente pensoandoci hai ragione... purtroppo mi manca un pò di elasticità su queste cose
Allora ti ringrazio nuovamente e spero di risentirci al prossimo topic
Buona giornata