Derivata dell'integrale
Salve a tutti,
Ho un dubbio riguardo la derivata di un integrale definito, ovviamente quando la variabile rispetto alla quale derivo è diversa dalla variabile rispetto alla quale integro; so che posso portare la derivata dentro l'integrale ma non riesco a capire che risultati otterrei in questo caso :
$ d/dx int_(x_o)^(x) f(t) dt $
Viene $f(x) - f(x_o)$ O sono completamente fuori strada?
Ringrazio chiunque mi aiuti
Ho un dubbio riguardo la derivata di un integrale definito, ovviamente quando la variabile rispetto alla quale derivo è diversa dalla variabile rispetto alla quale integro; so che posso portare la derivata dentro l'integrale ma non riesco a capire che risultati otterrei in questo caso :
$ d/dx int_(x_o)^(x) f(t) dt $
Viene $f(x) - f(x_o)$ O sono completamente fuori strada?
Ringrazio chiunque mi aiuti
Risposte
La derivata di $int_(a)^(x)f(t)dt$ è $f(x)$ dal teorema fondamentale.
Grazie per la risposta,
Però ho ancora un dubbio,
Il teorema fondamentale mi dice ad esempio; sia $ varphi$ una primitiva di $f$ allora l'integrale è uguale alla primitiva calcolata nell'estremo di integrazione superiore meno la primitiva calcolata nell'estremo di integrazione inferiore, adesso se poi vado a derivare non dovrei ottenere la funzione calcolata nel punto di arrivo meno la stessa calcolata nel punto di partenza?
Però ho ancora un dubbio,
Il teorema fondamentale mi dice ad esempio; sia $ varphi$ una primitiva di $f$ allora l'integrale è uguale alla primitiva calcolata nell'estremo di integrazione superiore meno la primitiva calcolata nell'estremo di integrazione inferiore, adesso se poi vado a derivare non dovrei ottenere la funzione calcolata nel punto di arrivo meno la stessa calcolata nel punto di partenza?
sia F(x) una primitiva di f(x) allora
$d/(dx)\int_{x_0}^x f(t)dt=d/(dx)(F(x)-F(x_0))=f(x)$
poiché $F(x_0)$ è costante!
$d/(dx)\int_{x_0}^x f(t)dt=d/(dx)(F(x)-F(x_0))=f(x)$
poiché $F(x_0)$ è costante!
Ok ovviamente se è costante si annulla, quindi se al posto di avere una funzione in una variabile avessi una funzione di $RR ^3$ si annulla solo se tutte e 3 le componenti fossero costanti giusto? Sennò avrei sempre la differenza tra la funzione calcolata nel punto di arrivo meno la stessa calcolata nel punto di partenza giusto?
Non mi sono espresso bene all'inizio ma il mio dubbio riguardavo un caso più generale possibile
Ringrazio tutti quelli che mi stanno aiutando
Non mi sono espresso bene all'inizio ma il mio dubbio riguardavo un caso più generale possibile
Ringrazio tutti quelli che mi stanno aiutando
Non ho capito, puoi essere più formale?
Se ad esempio ho
$F(x,y,z) = int_(x_0)^(x) G (x,y,z) dx $
E faccio la derivata $d/dx$
Potresti scrivere cosa ottengo?
$F(x,y,z) = int_(x_0)^(x) G (x,y,z) dx $
E faccio la derivata $d/dx$
Potresti scrivere cosa ottengo?
se integri e derivi rispetto a x, il caso è equivalente al precedente, dove y e z sono parametri costanti.
Il problema però sorge in una dimostrazione dove fa :
$F(x,y,z) = int_(x_0)^(x) d/dx G(s,y, z) ds =G(x, y, z) - G(x_0, y, z) $
Ma il secondo membro non dovrebbe essere zero dato che è una costante?
$F(x,y,z) = int_(x_0)^(x) d/dx G(s,y, z) ds =G(x, y, z) - G(x_0, y, z) $
Ma il secondo membro non dovrebbe essere zero dato che è una costante?
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