Derivata dell'hessiana
ciao a tutti...chi mi sa dire com'è la derivata dell'Hessiana di una funzione a due variabili? ovvero il gradiente alla terza?
Risposte
Si tratta di una forma 3-lineare (tensore di ordine 3 se conosci/preferisci usare questo linguaggio). Purtroppo mentre è possibile rappresentare il differenziale secondo (che è una forma 2-lineare) con una matrice, non si può fare altrettanto con il differenziale terzo. Servirebbe allo scopo una matrice tridimensionale contenente le derivate terze.
Per avere una espressione esplicita del differenziale terzo conviene usare questa espressione del differenziale secondo (qui $f=f(x_1...x_n)$ è una funzione sufficientemente regolare da un aperto di $RR^n$ a valori in $RR$):
$"d"^2f(x)=sum_{i, j=1}^n\frac{del^2 f}{delx_i delx_j}(x)"d"x_i"d"x_j$
e differenziare membro a membro (osserviamo che le forme lineari $"d"x_i, "d"x_j$ non dipendono da $x$ quindi possiamo trattarle come costanti (*) )
$"d"("d"^2f)(x)="d"^3f(x)=sum_{i, j, k=1}^n\frac{del^3 f}{delx_k delx_i delx_j}(x)"d"x_k"d"x_i"d"x_j$
Spero sia chiaro il perché ho fatto così. Discende tutto da questa identità
[EDIT: Identità corretta]
$"d"frac{del^2 f}{delx_i delx_j}(x)=sum_{k=1}^n del/(delx_k)[frac{del^2 f}{delx_i delx_j}](x)"d"x_k$ (*)
poi non resta che andare a sostituire.
Dal punto di vista teorico ho glissato su alcune questioni che andrebbero chiarite (se studi matematica; i punti critici sono segnalati con (*) ), se necessario ne possiamo parlare. Lascio due riferimenti bibliografici:
Bramanti Salsa Pagani Analisi matematica 1 capitolo 7;
Lang Undergraduate analysis capitolo XVII .
Per avere una espressione esplicita del differenziale terzo conviene usare questa espressione del differenziale secondo (qui $f=f(x_1...x_n)$ è una funzione sufficientemente regolare da un aperto di $RR^n$ a valori in $RR$):
$"d"^2f(x)=sum_{i, j=1}^n\frac{del^2 f}{delx_i delx_j}(x)"d"x_i"d"x_j$
e differenziare membro a membro (osserviamo che le forme lineari $"d"x_i, "d"x_j$ non dipendono da $x$ quindi possiamo trattarle come costanti (*) )
$"d"("d"^2f)(x)="d"^3f(x)=sum_{i, j, k=1}^n\frac{del^3 f}{delx_k delx_i delx_j}(x)"d"x_k"d"x_i"d"x_j$
Spero sia chiaro il perché ho fatto così. Discende tutto da questa identità
[EDIT: Identità corretta]
$"d"frac{del^2 f}{delx_i delx_j}(x)=sum_{k=1}^n del/(delx_k)[frac{del^2 f}{delx_i delx_j}](x)"d"x_k$ (*)
poi non resta che andare a sostituire.
Dal punto di vista teorico ho glissato su alcune questioni che andrebbero chiarite (se studi matematica; i punti critici sono segnalati con (*) ), se necessario ne possiamo parlare. Lascio due riferimenti bibliografici:
Bramanti Salsa Pagani Analisi matematica 1 capitolo 7;
Lang Undergraduate analysis capitolo XVII .
Beh,è il differenziale terzo di una funzione a più variabili, non è una cosa complicata...no?
No, non è una cosa complicata, assolutamente. L'unico problema è che mentre per differenziale primo e secondo si ha una comodissima rappresentazione in termini rispettivamente di un vettore e una matrice, per i differenziali di ordine superiore no; quindi occorre buttarsi su formule a base di $"d"x_i$ che sono un po' ingombranti, e fanno sorgere delle domande di natura teorica a cui si può rispondere a fondo solo dopo aver studiato un po' di algebra e di analisi in più (cosa significa "differenziale di un differenziale"?).
grazie mille dissonance! sei stato chiarissimo!
Attenzione! C'era un errore in una delle formule, ora ho corretto. Spero di non averti confuso.
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