Derivata dell'equazione differenziale
Salve,
ho un problema con un esercizio.
L'esercizio è il seguente:
Data $y'(t)=2t* tg(y(t))$ calcolare $y(t)$ e valutarla nel punto $y(0)=pi/4$, poi calcolare derivata prima e derivata seconda di $y(t)$ nel punto $t=0$.
Ho trovato che $y(t)=arcsin(e^((t^2)+C))$ e dato che $y(0)=arcsin(e^((0^2)+C))=arcsin(e^C)=pi/4$ ho valutato che $C=ln(sin(pi/4))=ln((sqrt2)/2)$.
A questo punto non ho capito bene cosa devo fare con quelle derivate... mi perdo sicuramente in niente, ma se potete aiutarmi ve ne sarei grato.
ho un problema con un esercizio.
L'esercizio è il seguente:
Data $y'(t)=2t* tg(y(t))$ calcolare $y(t)$ e valutarla nel punto $y(0)=pi/4$, poi calcolare derivata prima e derivata seconda di $y(t)$ nel punto $t=0$.
Ho trovato che $y(t)=arcsin(e^((t^2)+C))$ e dato che $y(0)=arcsin(e^((0^2)+C))=arcsin(e^C)=pi/4$ ho valutato che $C=ln(sin(pi/4))=ln((sqrt2)/2)$.
A questo punto non ho capito bene cosa devo fare con quelle derivate... mi perdo sicuramente in niente, ma se potete aiutarmi ve ne sarei grato.
Risposte
Ciao.
In sostanza hai calcolato l'integrale particolare di un problema di Cauchy, quindi hai già svolto quasi completamente l'esercizio proposto.
Ora che hai la funzione $y(t)$ che soddisfa anche la condizione iniziale (mi fido dei conti che hai svolto...!), devi solo calcolare $y'(0)$ e $y''(0)$ operando con la funzione $y(t)$ che hai ricavato, quindi non devi derivare l'equazione differenziale, ma la funzione incognita che hai ricavata.
Saluti.
In sostanza hai calcolato l'integrale particolare di un problema di Cauchy, quindi hai già svolto quasi completamente l'esercizio proposto.
Ora che hai la funzione $y(t)$ che soddisfa anche la condizione iniziale (mi fido dei conti che hai svolto...!), devi solo calcolare $y'(0)$ e $y''(0)$ operando con la funzione $y(t)$ che hai ricavato, quindi non devi derivare l'equazione differenziale, ma la funzione incognita che hai ricavata.
Saluti.
Ok grazie!!! Perciò io eseguo la derivata di $y(t)=arcsin(e^(t^2+C))$ che dovrebbe essere $y'(t)=(1/(sqrt(1-(e^(t^2+C))^2)))(e^(t^2+C))(2t)$ ?
La derivata seconda la vedo davvero un pò difficile...
La derivata seconda la vedo davvero un pò difficile...
Esatto.
Saluti.
Saluti.
"severity":
Data $y'(t)=2t* tg(y(t))$ calcolare $y(t)$ e valutarla nel punto $y(0)=pi/4$, poi calcolare derivata prima e derivata seconda di $y(t)$ nel punto $t=0$.
Sostituendo $t=0$ nell'equazione differenziale si deduce immediatamente che \( y^\prime (0) = 0 \cdot 1 = 0 \).
D'altra parte, derivando membro a membro l'equazione rispetto a $t$ (e ricordando il teorema di derivazione della funzione composta) si deduce altrettanto rapidamente che \( y^{\prime \prime} (0) = 2 \cdot \tan{\frac{\pi}{4}} + 0 = 2\) (in effetti, con un po' di occhio si vede anche che il teorema di derivazione della funzione composta non serve).
In poche parole, l'espressione analitica della soluzione non serve a nulla, se vogliamo calcolare le sue derivate in $0$.
Giusto.
Non ci avevo fatto caso.
Saluti.
Non ci avevo fatto caso.
Saluti.
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