Derivata della funzione
ho questa funzione $f(x,y)=x^2+y^2-1/2(x^2+y^2)^2$
mi chiede di calcolare la derivata della funzione $h(x)=int_0^(e^x) f(sqrt s,sqrt s) ds$
Mi sono calcolato prima l'integrale che mi viene
$int_0^(e^x) f(sqrt s,sqrt s) ds=int_0^(e^x) s+s-1/2(s+s)^2 ds=int_0^(e^x) 2s-2s^2 ds=int_0^(e^x) 2s ds-int_0^(e^x) 2s^2 ds=e^2x-2/3(e^3x)=e^2x(1-2/3 e^x)$
Poi calcolo la derivata di ciò quindi $h'(x)=2e^x(1-2/3 e^x)+e^2x(-2/3 e^x)=-2e^2x(e^x-1)$
È giusto quello che ho fatto? Ho un po' di problemi a focalizzare un comando del genere
mi chiede di calcolare la derivata della funzione $h(x)=int_0^(e^x) f(sqrt s,sqrt s) ds$
Mi sono calcolato prima l'integrale che mi viene
$int_0^(e^x) f(sqrt s,sqrt s) ds=int_0^(e^x) s+s-1/2(s+s)^2 ds=int_0^(e^x) 2s-2s^2 ds=int_0^(e^x) 2s ds-int_0^(e^x) 2s^2 ds=e^2x-2/3(e^3x)=e^2x(1-2/3 e^x)$
Poi calcolo la derivata di ciò quindi $h'(x)=2e^x(1-2/3 e^x)+e^2x(-2/3 e^x)=-2e^2x(e^x-1)$
È giusto quello che ho fatto? Ho un po' di problemi a focalizzare un comando del genere
Risposte
Non ho controllato i conti, ma a giudicare da come è scritto il testo, secondo me l'obiettivo dell'esercizio non è farti fare quei conti; l'esercizio, secondo me, ti chiede di applicare la regola di derivazione della funzione composta (cosa che io personalmente ti suggerirei di fare, anche a mo' di controllo).
Infatti, data la forma piuttosto semplice di $f$, in questo caso hai potuto fare esplicitamente i conti; ma appena la tua $f$ è poco più complicata devi ricorrere necessariamente al teorema di derivazione della funzione composta.
Infatti, data la forma piuttosto semplice di $f$, in questo caso hai potuto fare esplicitamente i conti; ma appena la tua $f$ è poco più complicata devi ricorrere necessariamente al teorema di derivazione della funzione composta.
"Paolo90":
Non ho controllato i conti, ma a giudicare da come è scritto il testo, secondo me l'obiettivo dell'esercizio non è farti fare quei conti; l'esercizio, secondo me, ti chiede di applicare la regola di derivazione della funzione composta (cosa che io personalmente ti suggerirei di fare, anche a mo' di controllo).
Infatti, data la forma piuttosto semplice di $f$, in questo caso hai potuto fare esplicitamente i conti; ma appena la tua $f$ è poco più complicata devi ricorrere necessariamente al teorema di derivazione della funzione composta.
Ma dici di utilizzarlo dopo aver calcolato l'integrale?
"scarsetto":
Ma dici di utilizzarlo dopo aver calcolato l'integrale?
No, appunto, dico di utilizzarlo in alternativa al calcolo dell'integrale (anche perché, generalmente, non è possibile calcolarlo esplicitamente).
"Paolo90":
[quote="scarsetto"]Ma dici di utilizzarlo dopo aver calcolato l'integrale?
No, appunto, dico di utilizzarlo in alternativa al calcolo dell'integrale (anche perché, generalmente, non è possibile calcolarlo esplicitamente).[/quote]
Ti chiedo troppo se mi fai vedere come lo useresti in questo caso??
Scarsetto, mi sembra non sia la volta che te lo chiedo... Attiva quel benedetto BBCode,
@scarsetto: prova tu. Preliminarmente, ti suggerisco di provare a calcolare la derivata di
\[
F(x):=\int_{0}^{h(x)} g(x,y)dy
\]
dove, ad esempio, $g \in C^1(\RR^2)$ e $h \in C^{1}(RR)$. Ricorda il teorema fondamentale del calcolo e, appunto, la regola di derivazione delle funzioni composte.
\[
F(x):=\int_{0}^{h(x)} g(x,y)dy
\]
dove, ad esempio, $g \in C^1(\RR^2)$ e $h \in C^{1}(RR)$. Ricorda il teorema fondamentale del calcolo e, appunto, la regola di derivazione delle funzioni composte.
"Paolo90":
@scarsetto: prova tu. Preliminarmente, ti suggerisco di provare a calcolare la derivata di
\[
F(x):=\int_{0}^{h(x)} g(x,y)dy
\]
dove, ad esempio, $g \in C^1(\RR^2)$ e $h \in C^{1}(RR)$. Ricorda il teorema fondamentale del calcolo e, appunto, la regola di derivazione delle funzioni composte.
Penso dovrebbe essere così $F'(x)=g(h(x)) h'(x)$ esatto?
"scarsetto":
Penso dovrebbe essere così $F'(x)=g(h(x)) h'(x)$ esatto?
No, è sbagliato.
"Paolo90":
[quote="scarsetto"]Penso dovrebbe essere così $F'(x)=g(h(x)) h'(x)$ esatto?
No, è sbagliato.[/quote]
Allora se io ho questa funzione da calcolare la derivata $h(x)=int_0^(e^x) f(sqrt s, sqrt s) ds$ con $ f(x,y)=x^2+y^2-1/2(x^2+y^2)^2$ la funzione sarà questa
$h(x)=int_0^(e^x) s+s-1/2(s+s)^2 ds$ e se applicò il teorema che dici da quello che ho capito verrebbe così
$h'(x)=(e^x+e^x-1/2(e^x+e^x)^2)e^x=(2e^x-1/2(2e^x)^2)e^x=(2e^x-2e^x)e^x$ almeno da quello che ho capito
è cosi che si procede? 
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