Derivata della derivata di una curva?

[harperf]

Ciao,

Sono alle prese con un passaggio che mi dona alcuni grattacapi:

[EDIT]
Spiego meglio nel 2 post

[Vidocq]

Se non ho interpretato male la tua richiesta.

[harperf]

Uhm non proprio, in realtà forse la domanda era un po' contorta perché cercavo di ambientarla in quel che stavo studiando, per far capire... ma forse è stato peggio.

Vado al nocciolo..
La mia domanda è, semplificando: ha senso data la curva $gamma$ dire che se ho una funzione F che dipende da gamma e qualcosa d'altro che chiamo r: $F(\gamma,r)$ definire una derivata $(\partialF)/(\partial\gamma)$?

A me pare di no, infatti anche semplicemente non mi pare definita la derivata: $(d(\gamma))/(d\gamma)=1$, sbaglio?

Tu che dici?

[anto_zoolander]

In realtà può aver senso

considera per esempio un campo vettoriale $F(x,y)=[(1,2),(2,1)]*[(x),(y)]$ o $F(v)=A*v$

possia chiederci se esistano curve $gamma(t)$ tali che $F(gamma(t))=gamma'(t)$
questo equivale al chiedersi se possiamo trovare curve per cui il campo sia tangente alla curva in tutti i suoi punti

puoi pensare di diagonalizzarlo per semplicità e quindi ti trovi $P(lambda)=lambda^2-2lambda-3$
e ti trovi $lambda_(1,2)=-1,3$

ci troviamo gli autovettori normalizzati $v_1=(1/sqrt2,-1/sqrt2)$ e $v_2=(1/sqrt2,1/sqrt2)$
rispetto a $B={v_1,v_2}$ sappiamo che il campo si esprime come

$F(x,y)=[(-1,0),(0,3)]*[(x),(y)]$ la matrice la chiamo $D$

partendo da $gamma_B(t)=(x(t),y(t))$ in coordinate otteniamo subito

${(x'(t)=-x(t)),(y'(t)=3y(t)):} => {(x(t)=c_1e^(-t)),(y(t)=c_2e^(3t)):}$

ora possiamo tenere anche il vettore $gamma(t)=(c_1e^(-t),c_2e^(3t))$

ha senso definire $G(t,c_1,c_2)=(c_1e^(-t),c_2e^(3t))$

i parametri $c_1,c_2$ deformano la traiettoria e al suo variare otteniamo tutte le traiettorie tangenti al campo vettoriale. A questo punto ha senso considerare

$(partialG)/(partialt)(t,c_1,c_2)=(c_1e^(-t),3c_2e^(3t))$

questo da appunto il vettore velocità che se poi ci pensi è proprio $D*gamma(t)$

quindi in genere può aver senso se interpreti magari $r$ come un parametro di deformazione e la derivata parziale sulla curva come la direzione tangente dalla curva al tempo $t$ e con deformazione $r$

[anto_zoolander]

@mato
È vero che alcuni simbolismi non hanno senso se presentati in maniera ambigua peró qualcosa si può sistemare.
Le curve possono essere viste come vettori di uno spazio normato e quindi si può usare la classica derivata tra spazi normati

La scrittura $(dx)/(dx)=1$ la usi come abuso dato dal fatto che la funzione identità ha derivata costantemente $1$, in realtà andrebbe specificata la funzione.

Può aver senso anche in quel caso se si intende che $1$ sia la funzione identità di uno spazio normato.

In ogni caso vi invito a guardare la derivata di Fréchet, quella toglie ogni dubbio.

[harperf]

Chiarissimo, merci