Derivata debole continua $\Rightarrow$ derivata forte ?
Sia $u$ una funzione derivabile in senso debole su $\Omega\subset\R^n$ aperto limitato.
Se $grad u$ è continuo, posso affermare che allora $u\in\C^1(\Omega)$, i.e. $u$ è derivabile in senso forte? (o meglio u è uguale quasi dappertutto ad una funzione $C^1$)
Leggendo l'Evans mi pare che venga dato per scontato che la risposta è sì, ma a me non sembra così ovvio.
Penso di essere riuscito a dare una dimostrazione nel caso $n=1$, ma non riesco a generalizzarla. La riassumo qui:
Siccome $C^\infty(\Omega)$ è denso in $W^{1,1}(\Omega)$, riesco a far vedere che per quasi ogni $a\in\Omega$
$u(x)=u(a)+\int_a^x u'(t) dt$ per quasi ogni $x\in\B(a,r)\subset\Omega$.
Ma se $u'$ è continua, la funzione integrale è $C^1$. Così trovo che $u$ è uguale quasi dappertutto ad una funzione $C^1$ su $B(a,r)$.
Concludo per l'arbitrarietà di $a$.
Il problema è che se sono in dimensione $n>1$ non riesco più a scrivere $u$ come una funzione $C^1$. Mi potete dare una mano?
Innanzitutto vi chiedo se la dimostrazione che ho dato per $n=1$ è giusta, poi se sapreste come generalizzarla ad $n>1$ oppure se avete altre idee per dimostrare questo risultato.
Se $grad u$ è continuo, posso affermare che allora $u\in\C^1(\Omega)$, i.e. $u$ è derivabile in senso forte? (o meglio u è uguale quasi dappertutto ad una funzione $C^1$)
Leggendo l'Evans mi pare che venga dato per scontato che la risposta è sì, ma a me non sembra così ovvio.
Penso di essere riuscito a dare una dimostrazione nel caso $n=1$, ma non riesco a generalizzarla. La riassumo qui:
Siccome $C^\infty(\Omega)$ è denso in $W^{1,1}(\Omega)$, riesco a far vedere che per quasi ogni $a\in\Omega$
$u(x)=u(a)+\int_a^x u'(t) dt$ per quasi ogni $x\in\B(a,r)\subset\Omega$.
Ma se $u'$ è continua, la funzione integrale è $C^1$. Così trovo che $u$ è uguale quasi dappertutto ad una funzione $C^1$ su $B(a,r)$.
Concludo per l'arbitrarietà di $a$.
Il problema è che se sono in dimensione $n>1$ non riesco più a scrivere $u$ come una funzione $C^1$. Mi potete dare una mano?
Innanzitutto vi chiedo se la dimostrazione che ho dato per $n=1$ è giusta, poi se sapreste come generalizzarla ad $n>1$ oppure se avete altre idee per dimostrare questo risultato.
Risposte
Sono d'accordo: è un fatto spesso dato per scontato, ma non ovvio. Comunque la tua dimostrazione va bene per $n=1$; nel caso generale mi ricordo di essermi convinto che la cosa fosse una conseguenza della completezza di $C^1(Omega)$ ma in questo momento non mi sovvengono i dettagli, purtroppo.
Il suggerimento di dissonance mi ha fatto venire in mente una strada possibile, ma ci sono un po' di buchi importanti..
Chiamiamo $(u_k)_k$ la successione in $C^\infty(\bar\Omega)$ t.c. $u_k\to u$ in $W^{1,1}(\Omega)$.
Poiché $grad u$ è continuo, a patto di estrarre una sottosuccessione, $grad u_k(x) \to grad u(x)$ per ogni $x\in\bar\Omega$.
Ora se potessi affermare che:
1) $||grad u_k - grad u||_{C(\bar\Omega)} \to 0$ (i.e. la convergenza precedente è uniforme)
2) $||u_k - u_h||_{C(\bar\Omega)} <= C * ||grad u_k - grad u_h||_{C(\bar\Omega)}$ (una disuguaglianza tipo Poincaré)
allora avrei che $(u_k)_k$ è di Cauchy in $C^1(\bar\Omega)$.
Per la completezza di $C^1(\bar\Omega)$, esisterebbe $v\in\C^1(\bar\Omega)$ t.c. $u_k\to v$ in $C^1(\bar\Omega)$.
Ma siccome $u_k\to u$ in $W^{1,1}(\Omega)$, avremmo $u=v$ quasi dappertutto su $\Omega$.
Secondo voi 1) e 2) sono vere? dissonance, ti ricorda qualcosa?
Chiamiamo $(u_k)_k$ la successione in $C^\infty(\bar\Omega)$ t.c. $u_k\to u$ in $W^{1,1}(\Omega)$.
Poiché $grad u$ è continuo, a patto di estrarre una sottosuccessione, $grad u_k(x) \to grad u(x)$ per ogni $x\in\bar\Omega$.
Ora se potessi affermare che:
1) $||grad u_k - grad u||_{C(\bar\Omega)} \to 0$ (i.e. la convergenza precedente è uniforme)
2) $||u_k - u_h||_{C(\bar\Omega)} <= C * ||grad u_k - grad u_h||_{C(\bar\Omega)}$ (una disuguaglianza tipo Poincaré)
allora avrei che $(u_k)_k$ è di Cauchy in $C^1(\bar\Omega)$.
Per la completezza di $C^1(\bar\Omega)$, esisterebbe $v\in\C^1(\bar\Omega)$ t.c. $u_k\to v$ in $C^1(\bar\Omega)$.
Ma siccome $u_k\to u$ in $W^{1,1}(\Omega)$, avremmo $u=v$ quasi dappertutto su $\Omega$.
Secondo voi 1) e 2) sono vere? dissonance, ti ricorda qualcosa?
Più in generale, un possibile modo di procedere passa per questo risultato.
In particolare, se la funzione è differenziabile in senso classico quasi ovunque allora la derivata classica coincide (q.o.) con quella debole.
Sia $u$ una funzione derivabile in senso debole in $\Omega$. Allora $u$ è approssimativamente differenziabile in quasi ogni punto $x\in\Omega$ e la derivata approssimata coincide quasi ovunque con la derivata debole.
In particolare, se la funzione è differenziabile in senso classico quasi ovunque allora la derivata classica coincide (q.o.) con quella debole.
Scusa Rigel ma non ho capito il tuo argomento, anche perché non so cosa significhi approssimativamente differenziabile.
La mia $u$ è derivabile in senso debole e il gradiente debole $grad u$ è continuo. Voglio far vedere che allora $u$ è uguale q.d. ad una funzione derivabile in senso forte.
La mia $u$ è derivabile in senso debole e il gradiente debole $grad u$ è continuo. Voglio far vedere che allora $u$ è uguale q.d. ad una funzione derivabile in senso forte.
Capito.
Non so quale sia il metodo più rapido per mostrare una cosa del genere.
Si può fare affidamento sull'assoluta continuità lungo i segmenti; grosso modo il risultato è questo (lo trovi di sicuro sul libro di Leoni):
A questo punto, se $u\in W^{1,1}$ ha derivate deboli continue, risulta che $v$ ha derivate classiche continue, dunque $v\in C^1(\Omega)$.
Non so quale sia il metodo più rapido per mostrare una cosa del genere.
Si può fare affidamento sull'assoluta continuità lungo i segmenti; grosso modo il risultato è questo (lo trovi di sicuro sul libro di Leoni):
Sia $u\in W^{1,1}(\Omega)$, con $\Omega\subset\RR^n$ aperto. Allora esiste un rappresentante $v$ di $u$ che è assolutamente continuo lungo $L^{n-1}$-q.o. segmento in $\Omega$ parallelo agli assi coordinati, e le cui derivate parziali (classiche) appartengono a $L^1(\Omega)$.
Inoltre tali derivate parziali classiche di $v$ coincidono q.o. con le derivate deboli di $u$.
A questo punto, se $u\in W^{1,1}$ ha derivate deboli continue, risulta che $v$ ha derivate classiche continue, dunque $v\in C^1(\Omega)$.
Ti ringrazio Rigel. Ho trovato il risultato nel libro di Leoni. Uilizzando quello si riesce a concludere, peccato solo che la dimostrazione sia lunga due pagine..
Se a qualcuno viene in mente una via più breve, gli sarò molto grato!
Se a qualcuno viene in mente una via più breve, gli sarò molto grato!
Mi hanno dato l'idea per fare una dimostrazione. La scrivo qui.
Sia $u\in W^{1,1}(\Omega)$ con $grad u$ continuo.
La regolarizzo con un mollificatore: per ogni $\epsilon<\epsilon_0$ considero $u_\epsilon:=u\star\zeta_\epsilon\in\C^\infty(\Omega_(\epsilon_0))$.
Poiché $grad u$ è continuo, $grad u_\epsilon=grad u\star\zeta_\epsilon\to grad u$ uniformemente.
Del resto $u_\epsilon\to u$ quasi dappertutto.
Ma allora anche $(u_\epsilon)_\epsilon$ converge uniformemente. Dunque $(u_\epsilon)_\epsilon$ converge in $C^1(\Omega_(\epsilon_0))$ (chiamiamo $v$ il limite).
Allora $u=v\in C^1(\Omega_(\epsilon_0))$ quasi dapperutto su $\Omega_(\epsilon_0)$.
Concludo per arbitrarietà di $\epsilon_0$.
A me sembra che funzioni, siete daccordo?
Sia $u\in W^{1,1}(\Omega)$ con $grad u$ continuo.
La regolarizzo con un mollificatore: per ogni $\epsilon<\epsilon_0$ considero $u_\epsilon:=u\star\zeta_\epsilon\in\C^\infty(\Omega_(\epsilon_0))$.
Poiché $grad u$ è continuo, $grad u_\epsilon=grad u\star\zeta_\epsilon\to grad u$ uniformemente.
Del resto $u_\epsilon\to u$ quasi dappertutto.
Ma allora anche $(u_\epsilon)_\epsilon$ converge uniformemente. Dunque $(u_\epsilon)_\epsilon$ converge in $C^1(\Omega_(\epsilon_0))$ (chiamiamo $v$ il limite).
Allora $u=v\in C^1(\Omega_(\epsilon_0))$ quasi dapperutto su $\Omega_(\epsilon_0)$.
Concludo per arbitrarietà di $\epsilon_0$.
A me sembra che funzioni, siete daccordo?
Secondo me funziona.
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