Derivata debole

[AlyAly2]

Ciao a tutti, avrei bisogno del vostro aiuto per capire alcuni passaggi di un esercizio sulla derivata debole di $1/|x|^alpha$ da trovare su $B={x \in RR^n: |x|<1}$.
Quello che si vorrebbe fare è usare il teorema della divergenza:
$ int_(B)uD_i\psi dx= -int_(B)psi D_iu dx AA \psi in C_0^1(B) $
solo che non si può applicare subito visto che $u$ non è derivabile nell'origine. Sia $0<\epsilon<1$, consideriamo $B_\epsilon={x \in RR^n : |x|<\epsilon}$ e poniamo $A_\epsilon=B-\bar(B_\epsilon)$.

$ int_(B)uD_i\psi dx= int_(A_\epsilon)uD_i\psi dx+int_(B_\epsilon)uD_i\psi dx$
$A_\epsilon$ è un aperto regolare e quindi si può applicare il teorema della divergenza:
$int_(A_\epsilon)uD_i\psi dx=-int_(A_\epsilon)psi D_iu dx+int_(partialA_\epsilon)u psi \nu_i d\sigma$
Poichè $\psi \in C_0^1(B)$, si annulla su $partial B$ ma non su $partial B_\epsilon$,quindi
$=-int_(A_\epsilon)psi D_iu dx+int_(partialB_\epsilon)u psi x_i/(|x|) d\sigma$
Qui viene il primo dubbio...cos'è $x_i/(|x|)$? è la normale i_esima per $x \in partial B_\epsilon$? se si, come l'ha calcolata?

Poi l'esercizio prosegue mettendo quello che si è trovato nell'integrale di partenza:
$ int_(B)uD_i\psi dx=-int_(A_\epsilon)psi D_iu dx+int_(partialB_\epsilon)u psi x_i/(|x|) d\sigma+int_(B_\epsilon)uD_i\psi dx$
$=-int_(B)psi D_iu dx+int_(B_\epsilon)psi D_iu dx+int_(B_\epsilon)uD_i\psi dx-int_(partialB_\epsilon)u psi x_i/(|x|) d\sigma$
Poi fa delle maggiorazioni che non mi sono chiare, riporto quanto c'è scritto:
$|int_(partialB_\epsilon)u psi x_i/(|x|) d\sigma|<= 1/(\epsilon)^(\alpha)int_(partialB_\epsilon)d\sigma=1/(\epsilon)^(\alpha)mis(raggio)^(n-1)<\epsilon^(n-1-\alpha) -> 0$ per $\epsilon->0$
Questi passaggi proprio non mi sono chiari..
$|int_(B_\epsilon)uD_i\psi dx|<=C int_(B_\epsilon)|u|dx $ e questo nel passaggio al limite va a zero perchè si sta facendo un integrale su un aperto la cui misura tende a zero,giusto? Solo la maggiorazione non mi è molto chiara..
quindi in conclusione che ciò che rimane è
$ int_(B)uD_i\psi dx= -int_(B)psi D_iu dx $
e quindi che anche in questo caso si può usare la formula della divergenza...
Qualcuno mi può aiutare?Grazie mille in anticipo a tutti!!

[AlyAly2]

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