Derivata con tan(x/2)

[Kernul]

Devo fare la derivata di questo esercizio:
$D[e^xtan(x/2)]$
Questa tangente con $(x/2)$ mi ha un po' stupito. La derivata di moltiplicazione la so ma non so come procedere quando ho questo tipo di tangente e l'unica cosa che ho trovato al riguardo sono delle formule per seno, coseno e tangente di $\alpha$ in cui hanno $t=tan(\alpha/2)$.
Le formule sono:
$sin\alpha=(2t)/(1+t^2)$
$cos\alpha=(1-t^2)/(1+t^2)$
$tan\alpha=(2t)/(1-t^2)$
Come devo fare? Il risultato della derivata deve essere: $((1+sinx)e^x)/(1+cosx)$

[CaMpIoN]

Semplicemente applichi questa:
\(\displaystyle D\left[\tan x\right]=1+\tan^2 x \)
Nel tuo caso hai una funzione composta, quindi applichi
\(\displaystyle D\left[\tan f(x)\right]=f'(x) \cdot \left(1+\tan^2 f(x)\right) \)
Nota però che devi applicare anche la regola della derivata di un prodotto di funzioni

[Kernul]

Ho fatto i calcoli e mi verrebbe così:
$e^xtan(x/2)+{[1+tan^2(x/2)]*1/2*e^x}$
$e^xtan(x/2)+{e^x/2+e^x/2*tan^2(x/2)}$
$e^xtan(x/2)+e^x/2+e^x/2*tan^2(x/2)$
$e^x/2[tan^2(x/2)+2tan(x/2)+1]$
Ho sbagliato qualcosa?

[pollon871]

Non è semplicemente
\(\displaystyle e^x tan(x/2) + \frac{e^x}{2cos^2 (x/2)} \) ?

[Kernul]

Oh sì, giusto! Però come trasformo quello in $((1+sinx)e^x)/(1+cosx)$?

[CaMpIoN]

Si concordo con pollon87.
In realtà la derivata di $\tan(x)$ è definita in due modi diversi, tra cui questo:
\(\displaystyle D[\tan(x)]=\frac{1}{\cos^2 x} \)

[axpgn]

$e^x(tanalpha+1/(2cos^2alpha))$

$e^x(sinalpha/cosalpha+1/(2cos^2alpha))$

$e^x((2sinalphacosalpha+1)/(2cos^2alpha))$

$e^x((sin(2alpha)+1)/(cos(2alpha)+1))$

$e^x((sin(x)+1)/(cos(x)+1))$