Derivata con modulo

[saffo1]

Ciao a tutti. Sto facendo uno studio di funzione ma non riesco a calcolare la derivata prima. La funzione è $ f(x)=|x-1|e^(|x|) $
e la derivata dovrebbe venire così:
$ (x-2)e^(-x) $ per $ x<0 $
$ -xe^x $ per $ 0 $ xe^x $ per $ x>1 $

A me invece viene $ xe^x $ se $ x>1 $ , $ -xe^-x $ se $ x<0 $

Grazie in anticipo a chi mi aiuterà!!

[packy95]

Ad occhio direi che hai sbagliato i calcoli per la derivata per $x<0$ e non hai considerato il caso in cui un argomento del modulo è negativo e l'altro positivo. Posta il procedimento così possiamo dirti dove hai sbagliato.

[saffo1]

Ho fatto così:
se entrambi i moduli sono positivi ho $ (x-1)>0,x>0 $, quindi $ x>1 $, e la derivata mi viene $ xe^x $ . Se sono entrambi negativi ho $ -(x-1)<0, x<0 $, quindi $ x<0 $, e la derivata $ -xe^-x $ . Il caso con uno positivo e l'altro negativo non mi torna, perché avrei $ -(x-1)<0, x>0 $ cioè $ x>1 $ e dall'altro $ x-1>0,x<0 $ che è impossibile.

[seb1]

Ma non aggiungere il segno negativo nelle condizioni! Il punto è: consideriamo per semplicità lo studio di \(|x|\); tale quantità, perché in valore assoluto, è sempre positiva. Allora dici: se \(x\) è positiva, tutto è in ordine e posso dimenticarmi del modulo; se \(x\) è negativa, posso levare il segno di valore assoluto semplicemente aggiungendo un segno meno. Cioè:\[|x|=\begin{cases}
\begin{align*}
x&,\;\;\text{se}\;x>0\\
-x&,\;\;\text{se}\;x<0
\end{align*}
\end{cases}\]Infatti, per come fai tu, imponi la condizione \(x-1>0\) in tutti i casi.

[packy95]

Esatto. Ed inoltre sbagli la derivata per $x<0$. Prova a rivedere i calcoli.