Derivata complessa
Salve, non ho capito perché per calcolare la derivata $f'(z_0)$ di una funzione complessa di variabile complessa è sufficiente andare a calcolare $(\partialf)/(\partialx)$ ovvero $f'(z_0)=(\partialf)/(\partialx) $ e la $(\partialf)/(\partialy) $ che fine fa?
Risposte
Considera una funzione \( f \colon \Omega \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C} \), con \( \Omega \) aperto.
Dirai che \( f \) è derivabile (in senso complesso) nel punto \( z_{0} \in \Omega \) se esiste finito il limite
\[ \lim_{z \to z_{0}} \frac{f(z) - f(z_{0})}{z-z_{0}}, \]
e tale limite si chiama derivata complessa di \( f \) in \( z_{0} \) ed è denotata con \( f'(z_{0}) \). Se tale derivata esiste in ogni punto di \( \Omega \), allora diciamo che \( f \) è olomorfa in \( \Omega \).
Se il generico punto del piano di partenza è denotato \( z = x + iy \), mentre il generico punto del piano di arrivo è denotato \( w = u + iv \), possiamo riguardare la funzione \( f \) come una trasformazione del piano in sé, scritta
\[ (x,y) \in \Omega \subset \mathbb{R}^{2} \mapsto (u(x,y),v(x,y)) \in \mathbb{R}^{2}. \]
Si dimostra che \( f \) è olomorfa in \( \Omega \) se e solo se le funzioni \( u(x,y) \) e \( v(x,y) \) sono differenziabili in \( \Omega \) e le loro derivate parziali soddisfano le celeberrime equazioni di Cauchy - Riemann
\[ u_{x} = v_{y} \\
u_{y} = - v_{x}. \]
A questo punto, il differenziale della trasformazione di cui sopra nel punto \( (x_{0},y_{0}) \) è l'operatore rappresentato dalla matrice
\[
\begin{pmatrix}
u_{x} & -v_{x} \\
v_{x} & u_{x}
\end{pmatrix}
\]
in quel punto, che, se si pensa al piano complesso, altro non è che l'operatore di moltiplicazione per il numero \( u_{x} + i v_{x} \). Pertanto, hai immediatamente che
\[ f'(z_{0}) = u_{x}(x_{0},y_{0}) + i v_{x}(x_{0},y_{0}). \]
Sono le Equazioni di Cauchy - Riemann che ti dicono che basta calcolare le derivate rispetto a \( x \), giacché quelle rispetto a \( y \) sono legate alle prime. Se preferisci, potresti anche scrivere
\[ f'(z_{0}) = v_{y} (x_{0}, y_{0}) - i u_{y}(x_{0},y_{0}). \]
Spero ti sia un po' più chiaro l'argomento adesso. Se hai difficoltà, chiedi pure.
Saluti
Dirai che \( f \) è derivabile (in senso complesso) nel punto \( z_{0} \in \Omega \) se esiste finito il limite
\[ \lim_{z \to z_{0}} \frac{f(z) - f(z_{0})}{z-z_{0}}, \]
e tale limite si chiama derivata complessa di \( f \) in \( z_{0} \) ed è denotata con \( f'(z_{0}) \). Se tale derivata esiste in ogni punto di \( \Omega \), allora diciamo che \( f \) è olomorfa in \( \Omega \).
Se il generico punto del piano di partenza è denotato \( z = x + iy \), mentre il generico punto del piano di arrivo è denotato \( w = u + iv \), possiamo riguardare la funzione \( f \) come una trasformazione del piano in sé, scritta
\[ (x,y) \in \Omega \subset \mathbb{R}^{2} \mapsto (u(x,y),v(x,y)) \in \mathbb{R}^{2}. \]
Si dimostra che \( f \) è olomorfa in \( \Omega \) se e solo se le funzioni \( u(x,y) \) e \( v(x,y) \) sono differenziabili in \( \Omega \) e le loro derivate parziali soddisfano le celeberrime equazioni di Cauchy - Riemann
\[ u_{x} = v_{y} \\
u_{y} = - v_{x}. \]
A questo punto, il differenziale della trasformazione di cui sopra nel punto \( (x_{0},y_{0}) \) è l'operatore rappresentato dalla matrice
\[
\begin{pmatrix}
u_{x} & -v_{x} \\
v_{x} & u_{x}
\end{pmatrix}
\]
in quel punto, che, se si pensa al piano complesso, altro non è che l'operatore di moltiplicazione per il numero \( u_{x} + i v_{x} \). Pertanto, hai immediatamente che
\[ f'(z_{0}) = u_{x}(x_{0},y_{0}) + i v_{x}(x_{0},y_{0}). \]
Sono le Equazioni di Cauchy - Riemann che ti dicono che basta calcolare le derivate rispetto a \( x \), giacché quelle rispetto a \( y \) sono legate alle prime. Se preferisci, potresti anche scrivere
\[ f'(z_{0}) = v_{y} (x_{0}, y_{0}) - i u_{y}(x_{0},y_{0}). \]
Spero ti sia un po' più chiaro l'argomento adesso. Se hai difficoltà, chiedi pure.
Saluti
il teorema citato lo conosco ma non mi è chiaro il perché è sufficiente calcolarne una sola !!
"s.stuv":
Sono le Equazioni di Cauchy - Riemann che ti dicono che basta calcolare le derivate rispetto a \( x \), giacché quelle rispetto a \( y \) sono legate alle prime.
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