Derivata
Ragazzi, mi aiutate a capire qual'è la derivata di $(e^x -1)^2$ ?
Il -1 non è esponente.. è una funzione composta, e a questo ci sono arrivata...ma proprio non riesco a capire come svolgerla... grazie...
[mod="Fioravante Patrone"]Ho:
- spostato qui questo post che non c'entrava con "Il nostro forum"
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- tolto il "bold"
- aggiunti i due simboletti di "dollaro" per rendere più facilmente leggibile la formula[/mod]
Il -1 non è esponente.. è una funzione composta, e a questo ci sono arrivata...ma proprio non riesco a capire come svolgerla... grazie...
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Risposte
Beh, inizia scrivendo quali sono le funzioni che la compongono. Fatto quello, basta applicare il teorema di derivazione composta 
$g(f(x))=(e^x-1)^2$
$f(x)=...$
$g(y)=...$
$g(f(x))=(e^x-1)^2$
$f(x)=...$
$g(y)=...$
..$f(x)=(e^x -1)^2
$g(y)=e^x -1 ?
$g(y)=e^x -1 ?
No. La tua $g(y)$ in realtà è la $f(x)$.
non ci sto capendo niente.. 
Sia $g(x)=(e^x-1)^2$. Posto $y=e^x-1$, $g(y)=y^2$. Fin qui ci sei?
si...
Se $g(y)=y^2$, $f(x)=e^x-1$, componendole hai: $g(f(x))=(e^x-1)^2$.
ok.. quindi la derivata è uguale a $(e^x -1)^2 per e^x $ ?
No, piano. Trova la derivata di $g$.
@yellow No problem. Quanto alla notazione, si vede che funziona!
@yellow No problem. Quanto alla notazione, si vede che funziona!
"Benny":
Sia $g(x)=(e^x-1)^2$. Posto $y=e^x-1$, $g(y)=y^2$. Fin qui ci sei?
Non quadra questa cosa.
la derivata di g è $2y
"Benny":
@yellow No problem. Quanto alla notazione, si vede che funziona!
Ho rimodificato perché leggendo meglio in realtà avevi fatto confusione!
Son concetti un po' contorti, ci vuole chiarezza.
@Chiarettina
Ok, giusto. Ora però devi derivare rispetto a $x$.
@yellow
Scusami, dove sarebbe l'errore?
Ok, giusto. Ora però devi derivare rispetto a $x$.
@yellow
Scusami, dove sarebbe l'errore?
quindi, se $g'(y)=2y $ e $ y=e^x -1 $ allora $ g'(x)=2(e^x -1) = 2e^x -2
"Benny":
@yellow
Scusami, dove sarebbe l'errore?
Sia $g(x)=(e^x-1)^2$. Posto $y=e^x-1$, $g(y)=(e^y-1)^2=(e^(e^x-1)-1)^2$ che non ci aiuta.
Attenta alle notazioni, però, come ha detto Yellow: $f(x)=e^x-1$ e $g(y)=y^2$.
Hai $f'(x)=e^x$ e $g'(y)=2y$.
Perciò, $(g(f(x)))'=g'(f(x))*f'(x)=2(e^x-1)*e^x$.
Hai $f'(x)=e^x$ e $g'(y)=2y$.
Perciò, $(g(f(x)))'=g'(f(x))*f'(x)=2(e^x-1)*e^x$.
@yellow
Hai ragione, scusa, nel cercare la semplicità ho usato una notazione un po' ambigua.
@Chiarettina
Ti ha risposto Antimius: il tuo procedimento era giusto in linea di partenza, ma poi dovevi considerare il teorema della derivazione di funzioni composte.
Hai ragione, scusa, nel cercare la semplicità ho usato una notazione un po' ambigua.
@Chiarettina
Ti ha risposto Antimius: il tuo procedimento era giusto in linea di partenza, ma poi dovevi considerare il teorema della derivazione di funzioni composte.
Ho capito! 
grazie, siete stati chiarissimi! 
grazie, siete stati chiarissimi!
Ragazzi, è possibile che un limite sia uguale a 0?
"Chiarettina":
quindi, se $g'(y)=2y $ e $ y=e^x -1 $ allora $ g'(x)=2(e^x -1) = 2e^x -2
Ci sei anche vicina, ma andare a tentativi non porta da nessuna parte. Ripartiamo da qui:
"yellow":
Se $g(y)=y^2$, $f(x)=e^x-1$, componendole hai: $g(f(x))=(e^x-1)^2$.
Tu sai che: $g'(y)=2y$ e $f'(x)=e^x$.
Usando la formula di derivazione per le funzioni composte hai:
$D[(e^x-1)^2]=D[g(f(x))]=g'(f(x))f'(x)$
La cosa più difficile è capire cosa significa quel $g'(f(x))$. Hai $g'(y)=2y$: devi semplicemente sostituire $y$ con $f(x)$. Allora $g'(f(x))=2(f(x))=2(e^x-1)$.
Continuando la nostra catena di uguaglianze:
$D[(e^x-1)^2]=D[g(f(x))]=g'(f(x))f'(x)=2(e^x-1)e^x$
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