Derivata
Avrei bisogno di una mano per capire questa derivata:
$ d/(dh) f_i (h*x_1, h*x_2, h*x_3) = (d/dx_1 f_i)*x_1 + (d/dx_2 f_i)*x_2 + (d/dx_3 f_i)*x_3 $
h è una costante, però sto derivando f in funzione di h. Ricordo vagamente un modo di derivare che un tempo chiamavo "a cipolla" e tentavo di spiegarmi questa derivata alla luce di quel metodo. Ma non riesco a capire che fine fa h. Mi aiutate a capire i passaggi logici dietro?
Cioè io prendo f, funzione di $x_1, x_2, x_3$ e moltiplico dello stesso valore h tutte le x "dentro la f".e poi voglio derivare questa f rispetto a h. allora vedo il primo pezzo $h*x_1$ com'è che mi diventa $(d/(dx_1) f_i)*x_1 $
mi indichereste per piacere una formula generale che mi serva da guida quando incontro derivate di questo tipo?
grazie e spero di aver postato nel posto giiusto
$ d/(dh) f_i (h*x_1, h*x_2, h*x_3) = (d/dx_1 f_i)*x_1 + (d/dx_2 f_i)*x_2 + (d/dx_3 f_i)*x_3 $
h è una costante, però sto derivando f in funzione di h. Ricordo vagamente un modo di derivare che un tempo chiamavo "a cipolla" e tentavo di spiegarmi questa derivata alla luce di quel metodo. Ma non riesco a capire che fine fa h. Mi aiutate a capire i passaggi logici dietro?
Cioè io prendo f, funzione di $x_1, x_2, x_3$ e moltiplico dello stesso valore h tutte le x "dentro la f".e poi voglio derivare questa f rispetto a h. allora vedo il primo pezzo $h*x_1$ com'è che mi diventa $(d/(dx_1) f_i)*x_1 $
mi indichereste per piacere una formula generale che mi serva da guida quando incontro derivate di questo tipo?
grazie e spero di aver postato nel posto giiusto
Risposte
Devi applicare il teorema di derivazione delle funzioni composte per funzioni di più variabili.
Sai che se hai una funzione composta da funzioni di una sola variabile derivando trovi [tex]$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$[/tex].
Quando hai a che fare con funzioni di più variabili si procede quasi ugualmente, solo che alle derivate vanno sostituiti i gradienti e cose simili ed ai prodotti i prodotti scalari.
Se hai le due funzioni:
[tex]$\mathbb{R}^3\ni (y_1,y_2,y_3)\mapsto f(y_1,y_2,y_3) \in \mathbb{R}$[/tex]
[tex]$\mathbb{R}^4 \ni (h,x_1,x_2,x_3) \mapsto g(h,x_1,x_2,x_3) =(g_1(h,x_1,x_2,x_3),g_2(h,x_1,x_2,x_3),g_3(h,x_1,x_2,x_3))\in \mathbb{R}^3$[/tex]
poni:
[tex]$\nabla_y f(y_1,y_2,y_3):=\left( \frac{\partial f}{\partial y_1}(y_1,y_2,y_3), \frac{\partial f}{\partial y_2}(y_1,y_2,y_3), \frac{\partial f}{\partial y_3}(y_1,y_2,y_3)\right)$[/tex]
[tex]$\frac{\partial g}{\partial h}(h,x_1,x_2,x_3):=\left( \frac{\partial g_1}{\partial h}(h,x_1,x_2,x_3),\frac{\partial g_2}{\partial h}(h,x_1,x_2,x_3),\frac{\partial g_3}{\partial h}(h,x_1,x_2,x_3)\right)$[/tex]
cosicché entrambi [tex]$\nabla_y f$[/tex] e [tex]$\frac{\partial g}{\partial h}$[/tex] sono vettori di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] ed ha senso farne il prodotto scalare.
La derivata rispetto ad [tex]$h$[/tex] della funzione composta [tex]$f(g(h,x_1,x_2,x_3))$[/tex] si calcola (a norma del teorema di derivazione delle funzioni composte) proprio prendendo il prodotto scalare di quei due vettori, ossia scrivendo:
(*) [tex]$\frac{\partial f}{\partial h}(h,x_1,x_2,x_3) = \langle \nabla_y f(g(h,x_1,x_2,x_3)), \frac{\partial g}{\partial h} (h,x_1,x_2,x_3) \rangle$[/tex]
$[tex]=\frac{\partial f}{\partial y_1}(g(h,x_1,x_2,x_3)) \cdot \frac{\partial g_1}{\partial h}(h,x_1,x_2,x_3) +\frac{\partial f}{\partial y_2}(g(h,x_1,x_2,x_3)) \cdot \frac{\partial g_2}{\partial h}(h,x_1,x_2,x_3)+\frac{\partial f}{\partial y_3}(g(h,x_1,x_2,x_3)) \cdot \frac{\partial g_3}{\partial h}(h,x_1,x_2,x_3)$[/tex]
ove [tex]$\langle \cdot, \cdot \rangle$[/tex] è il prodotto scalare di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex]. Nota l'analogia con il risultato per funzioni di una variabile!
Nel tuo caso hai [tex]$g(h,x_1,x_2,x_3):=(h\cdot x_1,h\cdot x_2,h\cdot x_3)=h\cdot x$[/tex], quindi derivando rispetto ad [tex]$h$[/tex] trovi:
[tex]$\frac{\partial g}{\partial h}(h,x_1,x_2,x_3)=\left( x_1,x_2,x_3\right) =x$[/tex]
(infatti quando derivi [tex]$h\cdot x_i$[/tex] rispetto ad [tex]$h$[/tex] devi considerare [tex]$x_i$[/tex] come se fosse una costante numerica), quindi la formula (*) ti restituisce:
[tex]$\frac{\partial f}{\partial h}(h\cdot x_1,h\cdot x_2,h\cdot x_3) = \langle \nabla_y f(h\cdot x), x \rangle$[/tex]
$[tex]=\frac{\partial f}{\partial y_1}(h\cdot x) \cdot x_1 +\frac{\partial f}{\partial y_2}(h\cdot x) \cdot x_2+\frac{\partial f}{\partial y_3}(h\cdot x) \cdot x_3$[/tex]
che è proprio quanto hai scritto all'inizio del tuo post.
Scommetto che hai a che fare con funzioni omogenee...
Quella derivata mi ricorda troppo il teorema di Eulero: una funzione [tex]$f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$[/tex] è (positivamente) omogenea di grado [tex]$k$[/tex] se e solo se [tex]$\langle\nabla f(x), x\rangle =k f(x)$[/tex].
Sai che se hai una funzione composta da funzioni di una sola variabile derivando trovi [tex]$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$[/tex].
Quando hai a che fare con funzioni di più variabili si procede quasi ugualmente, solo che alle derivate vanno sostituiti i gradienti e cose simili ed ai prodotti i prodotti scalari.
Se hai le due funzioni:
[tex]$\mathbb{R}^3\ni (y_1,y_2,y_3)\mapsto f(y_1,y_2,y_3) \in \mathbb{R}$[/tex]
[tex]$\mathbb{R}^4 \ni (h,x_1,x_2,x_3) \mapsto g(h,x_1,x_2,x_3) =(g_1(h,x_1,x_2,x_3),g_2(h,x_1,x_2,x_3),g_3(h,x_1,x_2,x_3))\in \mathbb{R}^3$[/tex]
poni:
[tex]$\nabla_y f(y_1,y_2,y_3):=\left( \frac{\partial f}{\partial y_1}(y_1,y_2,y_3), \frac{\partial f}{\partial y_2}(y_1,y_2,y_3), \frac{\partial f}{\partial y_3}(y_1,y_2,y_3)\right)$[/tex]
[tex]$\frac{\partial g}{\partial h}(h,x_1,x_2,x_3):=\left( \frac{\partial g_1}{\partial h}(h,x_1,x_2,x_3),\frac{\partial g_2}{\partial h}(h,x_1,x_2,x_3),\frac{\partial g_3}{\partial h}(h,x_1,x_2,x_3)\right)$[/tex]
cosicché entrambi [tex]$\nabla_y f$[/tex] e [tex]$\frac{\partial g}{\partial h}$[/tex] sono vettori di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] ed ha senso farne il prodotto scalare.
La derivata rispetto ad [tex]$h$[/tex] della funzione composta [tex]$f(g(h,x_1,x_2,x_3))$[/tex] si calcola (a norma del teorema di derivazione delle funzioni composte) proprio prendendo il prodotto scalare di quei due vettori, ossia scrivendo:
(*) [tex]$\frac{\partial f}{\partial h}(h,x_1,x_2,x_3) = \langle \nabla_y f(g(h,x_1,x_2,x_3)), \frac{\partial g}{\partial h} (h,x_1,x_2,x_3) \rangle$[/tex]
$[tex]=\frac{\partial f}{\partial y_1}(g(h,x_1,x_2,x_3)) \cdot \frac{\partial g_1}{\partial h}(h,x_1,x_2,x_3) +\frac{\partial f}{\partial y_2}(g(h,x_1,x_2,x_3)) \cdot \frac{\partial g_2}{\partial h}(h,x_1,x_2,x_3)+\frac{\partial f}{\partial y_3}(g(h,x_1,x_2,x_3)) \cdot \frac{\partial g_3}{\partial h}(h,x_1,x_2,x_3)$[/tex]
ove [tex]$\langle \cdot, \cdot \rangle$[/tex] è il prodotto scalare di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex]. Nota l'analogia con il risultato per funzioni di una variabile!
Nel tuo caso hai [tex]$g(h,x_1,x_2,x_3):=(h\cdot x_1,h\cdot x_2,h\cdot x_3)=h\cdot x$[/tex], quindi derivando rispetto ad [tex]$h$[/tex] trovi:
[tex]$\frac{\partial g}{\partial h}(h,x_1,x_2,x_3)=\left( x_1,x_2,x_3\right) =x$[/tex]
(infatti quando derivi [tex]$h\cdot x_i$[/tex] rispetto ad [tex]$h$[/tex] devi considerare [tex]$x_i$[/tex] come se fosse una costante numerica), quindi la formula (*) ti restituisce:
[tex]$\frac{\partial f}{\partial h}(h\cdot x_1,h\cdot x_2,h\cdot x_3) = \langle \nabla_y f(h\cdot x), x \rangle$[/tex]
$[tex]=\frac{\partial f}{\partial y_1}(h\cdot x) \cdot x_1 +\frac{\partial f}{\partial y_2}(h\cdot x) \cdot x_2+\frac{\partial f}{\partial y_3}(h\cdot x) \cdot x_3$[/tex]
che è proprio quanto hai scritto all'inizio del tuo post.
Scommetto che hai a che fare con funzioni omogenee...
Quella derivata mi ricorda troppo il teorema di Eulero: una funzione [tex]$f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$[/tex] è (positivamente) omogenea di grado [tex]$k$[/tex] se e solo se [tex]$\langle\nabla f(x), x\rangle =k f(x)$[/tex].
Grazie mille per la risposta. dopo un primo impatto in cui non so se più fprte sia stata la voglia di piangere o l'impluso a chiudere la finestra del browser, mi accingo a leggere pian piano la tua spiegazione.
Si Eulero, esattamente lui.
Si Eulero, esattamente lui.
Fate una petizione fra voi economisti e fatevi insegnare un po' più di Matematica... 
Si scherza, non te la prendere!
Ad ogni modo, per qualche esempio pratico ti rimando qui o ad un qualunque libro di Analisi II.
Si scherza, non te la prendere!
Ad ogni modo, per qualche esempio pratico ti rimando qui o ad un qualunque libro di Analisi II.
Okay vediamo se ho capito
prendiamo questa:
$d/dh f(t,x+h*v, x'+h*v')$
allora, lo spezzetto e dico che dentro c'è $g$ e $g_1$ è $x+h*v$ e $g_2$ è $x'+h*v'$
e poi dico che fuori c'è $f$.
chi derivo per cosa? siccome questa $f$ è un funzionale in funzione di $x$ direi che $f$ va differenziata rispetto a $x$ (ma in realtà a parte questo ragionamento bislacco, perchè differenzio rispetto a $x$?)
poi guardo $g$ siccome c'è scritto all'inizio $d/dh$ io $g$ la differenzio per $h$ che mi viene $g_1 = v$ e $g_2 = v'$
e poi moltiplico ognuno per ciascuno (scalare)
e mi viene $(d/dx f )*v + (d/dx' f )*v' $
è corretto?
grazie!!!
prendiamo questa:
$d/dh f(t,x+h*v, x'+h*v')$
allora, lo spezzetto e dico che dentro c'è $g$ e $g_1$ è $x+h*v$ e $g_2$ è $x'+h*v'$
e poi dico che fuori c'è $f$.
chi derivo per cosa? siccome questa $f$ è un funzionale in funzione di $x$ direi che $f$ va differenziata rispetto a $x$ (ma in realtà a parte questo ragionamento bislacco, perchè differenzio rispetto a $x$?)
poi guardo $g$ siccome c'è scritto all'inizio $d/dh$ io $g$ la differenzio per $h$ che mi viene $g_1 = v$ e $g_2 = v'$
e poi moltiplico ognuno per ciascuno (scalare)
e mi viene $(d/dx f )*v + (d/dx' f )*v' $
è corretto?
grazie!!!
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