Derivata

[Sk_Anonymous]

Studiare la derivata seconda della funzione

$f(x)=x^3-ln(2/3-x)

[fu^2]

$f(x)=x^3-ln(2/3-x)

$f'(x)=3x^2-1/(2/3-x)*(-1)=3x^2+3/(2-3x)

$f''(x)=6x+9/(2-3x)^2=(24x+54x^3-72x^2+9)/(2-3x)^2=3(8x+18x^3-24x^2+3)/(2-3x)^2

quindi la derivata seconda da studiare è $f''(x)=3(8x+18x^3-24x^2+3)/(2-3x)^2

$f''(x)=0

quando ($x=2/3$ non è derivabile e non esiste neanche la funzione)

$3(8x+18x^3-24x^2+3)/(2-3x)^2=0->+18x^3-24x^2+8x+3=0

chiamiamo $g(x)=+18x^3-24x^2+8x+3
per trovare i suoi zeri, usiamo il metodo di bisezione in quanto non è possibile attraverso un metodo algebrico (ruffini è impossibile da usare in questo caso)
si nota che per x=0 g(0)=3 e per x=-1 g(-1)=-47
essendo continua in [-1,0] e assume segno opposto agli estremi, possiamo affermare che il suo zero si trova in questo intervallo.
proviamo a diminuire l'intervallo per avere una stima più bella
proviamo con x=-1/2 si ha che g(-1/2)<0
lo zero si trova nell'intervallo [-1/2,0] itinerando più volte puoi ottenere una stima più precisa
chiamiamo $alpha$ il valore dello zero.

a questo punto si vede che $g(x)<0$ per $x
quindi $alpha$ è un punto di flesso e prima di esso f''(x)<0, mentre per x>alpha f''(x)>0


notte