Derivare vettori\matrici
Abbiamo un buon professore di Calcolo Numerico. Peccato che dia troppe cose per scontate...
Tipo: indichiamo con $A(epsilon) = A + epsilonF$ con $F, A in RR^(n x n)$... perché la derivata di $A(epsilon)$ risulta essere F? Come si derivano in generale vettori\matrici?
Tipo: indichiamo con $A(epsilon) = A + epsilonF$ con $F, A in RR^(n x n)$... perché la derivata di $A(epsilon)$ risulta essere F? Come si derivano in generale vettori\matrici?
Risposte
si derivano componente per componente.
nell'esempio che hai proposto A ed F sono matrici dove non compare il termine $epsilon$, dunque la derivata di $A+epsilonF$ è uguale ad F!
nell'esempio che hai proposto A ed F sono matrici dove non compare il termine $epsilon$, dunque la derivata di $A+epsilonF$ è uguale ad F!
La formula usata è una approssimazione... per espsilon molto piccolo la variazione della matrice A è circa uguale al prodotto della derivata prima della matrice per epsilon
"nnsoxke":
La formula usata è una approssimazione... per espsilon molto piccolo la variazione della matrice A è circa uguale al prodotto della derivata prima della matrice per epsilon
Giusto! Si sviluppa con Taylor, si trova l'approssimazione e si divide per $epsilon$ eguagliandola all'altra formula del delta... ma nel libro il passaggio non è riportato e non riuscivo a intuirlo.. grazie
A questo punto wedge che intendi derivare componente per componente, in una matrice reale? Tieni conto che non abbiamo fatto molto al corso di algebra lineare (e anche qui non necessariamente serve... ma ormai devo saperlo
)
"lore":
[quote="nnsoxke"]La formula usata è una approssimazione... per espsilon molto piccolo la variazione della matrice A è circa uguale al prodotto della derivata prima della matrice per epsilon
Giusto! Si sviluppa con Taylor, si trova l'approssimazione e si divide per $epsilon$ eguagliandola all'altra formula del delta... ma nel libro il passaggio non è riportato e non riuscivo a intuirlo.. grazie
A questo punto wedge che intendi derivare componente per componente, in una matrice reale? Tieni conto che non abbiamo fatto molto al corso di algebra lineare (e anche qui non necessariamente serve... ma ormai devo saperlo
)[/quote]beh avrei risposto anche io come wedge; se dici $A(\epsilon) = A + \epsilon F$ , $A(\epsilon)$ è un applicazione in $\epsilon$ e la derivata (che è $dA(\epsilon)1$) si può mostrare facilmente che è $F$.
Poi se parlate di approssimazione, allora non so bene di cosa parlate
concordo con leev e wedge
come è presentato il problema, vedo una funzione definita su $RR$ a valori in $RR^(n*n)$ la cui derivata non è altro che la matrice le cui componenti sono le derivate della sue componenti
e la funzione è lineare in epsilon da qui il risultato
come si derivano le funzioni?
vediamo: da $RR$ in $RR$ lo sappiamo
da $RR^n$ in $RR$ è un po' più complicato (derivate parziali, direzionali, gradiente, differenziale) ma lo sappiamo
cosa cambia se abbiamo funzioni (definite su $RR$ o su $RR^n$ non importa) a valori in $RR^k$ ??
niente, si lavora "banalmente" sulle coordinate, le quali sono funzioni a valori in $RR$
il caso $k = n*n$ o $k=n*m$, ovvero se abbiamo una funzione a "valori matrici" non fa nessuna differenza, è un "caso particolare" del caso delle funzioni "a valori vettori"
come è presentato il problema, vedo una funzione definita su $RR$ a valori in $RR^(n*n)$ la cui derivata non è altro che la matrice le cui componenti sono le derivate della sue componenti
e la funzione è lineare in epsilon da qui il risultato
come si derivano le funzioni?
vediamo: da $RR$ in $RR$ lo sappiamo
da $RR^n$ in $RR$ è un po' più complicato (derivate parziali, direzionali, gradiente, differenziale) ma lo sappiamo
cosa cambia se abbiamo funzioni (definite su $RR$ o su $RR^n$ non importa) a valori in $RR^k$ ??
niente, si lavora "banalmente" sulle coordinate, le quali sono funzioni a valori in $RR$
il caso $k = n*n$ o $k=n*m$, ovvero se abbiamo una funzione a "valori matrici" non fa nessuna differenza, è un "caso particolare" del caso delle funzioni "a valori vettori"
Ops scusate , forse mi sono lasciato influenzare un po' troppo dalla materia, calcolo numerico... praticamente l'avevo vista così: gli elementi della matrice A sono funzioni di un certo parametro e si vuole vedere come varia in prima approssimazione la matrice quando si fa variare di epsilon molto piccolo questo parametro, ma ovviamente nel testo non c'è scritto così.
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