Derivare entrambi i membri di un'equazione
Salve, mi chiedevo: cosa vuol dire fare la derivata di entrambi i membri di un'equazione?
Per esempio, prendiamo l'equazione $2x^2+3x=4x$. Facendo la derivata di entrambi i membri dell'equazione, si ottiene l'equazione $4x+3=4$.
Vuol dire semplicemente ottenere a partire dalla prima equazione una seconda equazione? C'è un legame fra le soluzioni della prima equazione e della seconda equazione?
Grazie!
Per esempio, prendiamo l'equazione $2x^2+3x=4x$. Facendo la derivata di entrambi i membri dell'equazione, si ottiene l'equazione $4x+3=4$.
Vuol dire semplicemente ottenere a partire dalla prima equazione una seconda equazione? C'è un legame fra le soluzioni della prima equazione e della seconda equazione?
Grazie!
Risposte
"gugo82":
Per essere un po' più precisi (come solo tu sai esserlo...), l'identità \(\langle v(t), v(t)\rangle = 1\) ti sta dicendo che la funzione \(I\ni t \mapsto \langle v(t), v(t)\rangle \in \mathbb{R}\) è uguale alla funzione \(I\ni t\mapsto 1\in \mathbb{R}\); di conseguenza la prima delle due funzioni è derivabile ed ha derivata nulla.
E' quello che dicevo da oggi pomeriggio e che tu ritenevi essere sbagliato.
"gugo82":
Il fatto che quest'ultimo fatto possa essere ricavato derivando m.a.m. è una scorciatoia dello stesso tipo di quelle che ti hanno fatto storcere il naso fino ad ieri, quindi mi pare strano che ad uno preciso come te venga in mente una fesseria simile.
Non capisco
"lisdap":
[quote="gugo82"]
Per essere un po' più precisi (come solo tu sai esserlo...), l'identità \(\langle v(t), v(t)\rangle = 1\) ti sta dicendo che la funzione \(I\ni t \mapsto \langle v(t), v(t)\rangle \in \mathbb{R}\) è uguale alla funzione \(I\ni t\mapsto 1\in \mathbb{R}\); di conseguenza la prima delle due funzioni è derivabile ed ha derivata nulla.
E' quello che dicevo da oggi pomeriggio e che tu ritenevi essere sbagliato.[/quote]
Evidentemente lo dicevi in modo sbagliato.
"lisdap":
[quote="gugo82"]
Il fatto che quest'ultimo fatto possa essere ricavato derivando m.a.m. è una scorciatoia dello stesso tipo di quelle che ti hanno fatto storcere il naso fino ad ieri, quindi mi pare strano che ad uno preciso come te venga in mente una fesseria simile.
Non capisco[/quote]
Peccato...
@lisdap
E' data $f:RR \to RR$. Sai che $f^2(x) = 1$ per ogni $x \in RR$.
Da questo deduci che $2f(x)f'(x) = 0$ per ogni $x \in RR$
Dove è l'errore?
Sai fare un controesempio?
E' data $f:RR \to RR$. Sai che $f^2(x) = 1$ per ogni $x \in RR$.
Da questo deduci che $2f(x)f'(x) = 0$ per ogni $x \in RR$
Dove è l'errore?
Sai fare un controesempio?
"Fioravante Patrone":
@lisdap
E' data $f:RR \to RR$. Sai che $f^2(x) = 1$ per ogni $x \in RR$.
Da questo deduci che $2f(x)f'(x) = 0$ per ogni $x \in RR$
Esattamente questo è quello che trovo sul mio libro di fisica.
Errore? Ummm, ora ci penso..
Non capisco quale possa essere l'errore. Passando ad un esempio numerico, consideriamo $f(x)=(x/x)^2$. Questa roba, qualsiasi sia $x$, vale $1$. Quindi posso dire che vale l'identità $(x/x)^2=1$ per ogni $x in RR$, giusto?
Ora la derivata del primo membro è zero; la derivata del secondo membro,è zero. Uguagliando le due derivate ottengo un identità, quindi scopro che la derivata di entrambi i membri di un'identità è ancora un'identità.
Cosa c'è di sbagliato? Grazie.
EDIT: forse ho capito quale era l'imbroglio e cosa cercavano di farmi capire gli utenti di sopra. il secondo membro è un numero che non dipende da $t$, quindi non ha senso farne la derivata.
Ora la derivata del primo membro è zero; la derivata del secondo membro,è zero. Uguagliando le due derivate ottengo un identità, quindi scopro che la derivata di entrambi i membri di un'identità è ancora un'identità.
Cosa c'è di sbagliato? Grazie.
EDIT: forse ho capito quale era l'imbroglio e cosa cercavano di farmi capire gli utenti di sopra. il secondo membro è un numero che non dipende da $t$, quindi non ha senso farne la derivata.
"lisdap":E' quello che temevo
Esattamente questo è quello che trovo sul mio libro di fisica.
"Fioravante Patrone":E' quello che temevo
[quote="lisdap"]Esattamente questo è quello che trovo sul mio libro di fisica.
[/quote]il libro dice: deriviamo entrambi i membri della relazione: ciò chiaramente provoca grande confusione!
Ho modificato il messaggio sopra.
"lisdap":No. Vale solo per $x != 0$
Passando ad un esempio numerico, consideriamo $f(x)=(x/x)^2$. Questa roba, qualsiasi sia $x$, vale $1$.
A parte questa pignoleria, non essere precipitoso.
Rifletti con calma sulla mia questione domani, a mente fredda. Mica sta bruciando la casa!
Ma calmati, accidenti!
Stai solo facendo un gran casino.
Nel mio esempietto: $f^2(x) = 1$ per ogni $x \in RR$,
NON C'E' NESSUN DUBBIO SUL FATTO CHE LA DERIVATA DELLA FUNZIONE A PRIMO MEMBRO SIA 0 SU TUTTO $RR$!
Se te l'hanno detto dissonance e gugo82 ti puoi fidare
Stai solo facendo un gran casino.
Nel mio esempietto: $f^2(x) = 1$ per ogni $x \in RR$,
NON C'E' NESSUN DUBBIO SUL FATTO CHE LA DERIVATA DELLA FUNZIONE A PRIMO MEMBRO SIA 0 SU TUTTO $RR$!
Se te l'hanno detto dissonance e gugo82 ti puoi fidare
"Fioravante Patrone":No. Vale solo per $x != 0$
[quote="lisdap"]Passando ad un esempio numerico, consideriamo $f(x)=(x/x)^2$. Questa roba, qualsiasi sia $x$, vale $1$.
A parte questa pignoleria, non essere precipitoso.
Rifletti con calma sulla mia questione domani, a mente fredda. Mica sta bruciando la casa![/quote]
Gugo diceva:
"Per essere un po' più precisi, l'identità \(\langle v(t), v(t)\rangle = 1\) ti sta dicendo che la funzione \(I\ni t \mapsto \langle v(t), v(t)\rangle \in \mathbb{R}\) è uguale alla funzione \(I\ni t\mapsto 1\in \mathbb{R}\); di conseguenza la prima delle due funzioni è derivabile ed ha derivata nulla.
Il fatto che quest'ultimo fatto possa essere ricavato derivando m.a.m. è una scorciatoia dello stesso tipo di quelle che ti hanno fatto storcere il naso fino ad ieri".
Non capisco l'ultima frase. Lui ha ragionato cosi: l'identità \(\langle v(t), v(t)\rangle = 1\) mi dice che il primo membro è una roba che vale $1$ qualunque sia $t$. Quindi la sua derivata è ovviamente zero.
Io aggiungo: Ok, la derivata del primo membro è zero. Siccome il secondo membro è una costante, anche la sua derivata è zero. Quindi l'uguaglianza tra la derivata dei due membri è un'identità. Voi però mi dite che questo non va bene
D'accordo, ci penserò domani, buona serata
"lisdap":
Gugo diceva:
[quote="gugo"]Per essere un po' più precisi, l'identità \(\langle v(t), v(t)\rangle = 1\) ti sta dicendo che la funzione \(I\ni t \mapsto \langle v(t), v(t)\rangle \in \mathbb{R}\) è uguale alla funzione \(I\ni t\mapsto 1\in \mathbb{R}\); di conseguenza la prima delle due funzioni è derivabile ed ha derivata nulla.
Il fatto che quest'ultimo fatto possa essere ricavato derivando m.a.m. è una scorciatoia dello stesso tipo di quelle che ti hanno fatto storcere il naso fino ad ieri.
Non capisco l'ultima frase. Lui ha ragionato cosi: l'identità \(\langle v(t), v(t)\rangle = 1\) mi dice che il primo membro è una roba che vale $1$ qualunque sia $t$. Quindi la sua derivata è ovviamente zero.
Io aggiungo: Ok, la derivata del primo membro è zero. Siccome il secondo membro è una costante, anche la sua derivata è zero. Quindi l'uguaglianza tra la derivata dei due membri è un'identità. Voi però mi dite che questo non va bene
D'accordo, ci penserò domani, buona serata
[/quote]Il mio "No" precedente non andava inteso come hai fatto. Semplicemente ti segnalavo che il tuo modo di ragionare sulla formula ti portava ad una tautologia (i.e. \(0=0\)) che non serve a nulla, come ho specificato nello stesso post che hai citato (evidentamente guardandolo, senza leggerlo):
Ti accorgi tu stesso che stai affermando una tautologia, no?
"Se due funzioni sono uguali allora le derivate sono uguali"... E grazie al piffero, non potrebbe essere altrimenti.
@FP: Vabbé, siamo d'accordo che sulla \(v\) vada fatta qualche ipotesi di regolarità (cosa che si fa sempre implicitamente quando si parla di Meccanica Classica).
Ovviamente i libri di Fisica farebbero meglio a specificarlo ogni tanto (
), ma tant'è...
"Fioravante Patrone":
@lisdap
Ogni promessa è debito...
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... rivata.pdf
Grazie Fioravante, ad una prima lettura è molto più chiaro......a proposito, quanto ti devo
?Anche se tra quello che intuivo io (e i libri di fisica) e quello che hai detto tu negli appunti che hai redatto c'è una sottigliezza di mezzo, la questione che ho sollevato in questo topic non mi è sembrata proprio banale...
Io capisco i tuoi problemi. Cerco sempre di non dimenticare le difficoltà, le incertezze che ho avuto da studente. E fa bene averne!
Nella questione di cui si parla, a mio parere sono coinvolte due fonti possibili di errore:
- la confusione fra "equazione" e "identità"
- la questione che ho messo in evidenza nel mio intervento qui e nelle mie note in rete: conoscendo i miei "polli", so bene che sulla assunzione di derivabilità necessaria per ottenere il risultato desiderato si glissa colpevolmente (son d'accordo con l'ultimo intervento di gugo82, sul fatto che l'assunzione di derivabilità tipicamente è data per scontata. Il guaio è che non c'è affatto piena consapevolezza di ciò in chi legge e, a volte, neanche in chi scrive!)
Spero che tu a questo punto non abbia più dubbi in merito. E il tuo post magari servirà a qualcuno, sia a porsi delle domande che a darsi delle risposte.
PS:
Con calma aggiungerò ai miei appunti una parte in cui cercherò di approfondire il discorso " equazione/identità". Niente di clamoroso, ovviamente. Considerazioni banali come quelle che vi si trovano adesso. Ma a volte banale non è sinonimo di chiaro, compreso.
PPS:
Fatte le aggiunte.
Nella questione di cui si parla, a mio parere sono coinvolte due fonti possibili di errore:
- la confusione fra "equazione" e "identità"
- la questione che ho messo in evidenza nel mio intervento qui e nelle mie note in rete: conoscendo i miei "polli", so bene che sulla assunzione di derivabilità necessaria per ottenere il risultato desiderato si glissa colpevolmente (son d'accordo con l'ultimo intervento di gugo82, sul fatto che l'assunzione di derivabilità tipicamente è data per scontata. Il guaio è che non c'è affatto piena consapevolezza di ciò in chi legge e, a volte, neanche in chi scrive!)
Spero che tu a questo punto non abbia più dubbi in merito. E il tuo post magari servirà a qualcuno, sia a porsi delle domande che a darsi delle risposte.
PS:
Con calma aggiungerò ai miei appunti una parte in cui cercherò di approfondire il discorso " equazione/identità". Niente di clamoroso, ovviamente. Considerazioni banali come quelle che vi si trovano adesso. Ma a volte banale non è sinonimo di chiaro, compreso.
PPS:
Fatte le aggiunte.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo