Derivabilitià e differenziabilità

[pippo14]

Ciao a tutti, non riesco a trovare la risposta a questo quesito:
$ f: R^2 -> R $ , $ f(x,y) = sqrt(1- cos(xy)) $

a. non ammette derivate parziali in (0,0).
b. non è derivabile parziamente rispetto a y nel punto (0,1).
c. è differenziabile in (0,0).
d. è derivabile parziamente rispetto a x nel punto (0,1).

Risolvendo mi verrebbe ad esclusione che è differenziabile in (0,0) e derivabile parziamente rispetto a x nel punto (0,1), non riesco a capire quale delle due escludere e perchè.

[pippo14]

"TeM":Dunque, data la funzione \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) definita da \[ f(x,\,y) := \sqrt{1 - \cos(x\,y)} \] dato che si ha \[ \begin{aligned} & \frac{\partial f}{\partial x}(0,\,1) := \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h,\,1) - f(0,\,1)}{h} = \lim_{h \to 0} \sqrt{\frac{1 - \cos(h)}{h^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \; ; \\ & \frac{\partial f}{\partial y}(0,\,1) := \lim_{k \to 0} \frac{f(0,\,1+k) - f(0,\,1)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0}{k} = 0 \; ; \end{aligned} \] segue che \(f\) risulta derivabile in \((0,\,1)\) (risposta b scorretta, risposta d corretta).

Inoltre, dal momento che si ha \[ \begin{aligned} & \frac{\partial f}{\partial x}(0,\,0) := \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h,\,0) - f(0,\,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0 \; ; \\ & \frac{\partial f}{\partial y}(0,\,0) := \lim_{k \to 0} \frac{f(0,\,0+k) - f(0,\,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0}{k} = 0 \; ; \end{aligned} \] il gradiente di \(f\) in \((0,\,0)\) risulta essere \[ \nabla f (0,\,0) = (0,\,0) \] (risposta a scorretta) e infine essendo \[ \small \lim_{(h,\,k)\to(0,\,0)} \frac{f(0+h,\,0+k) - f(0,\,0) - \nabla f(0,\,0) \cdot (h,\,k)}{\sqrt{h^2 + k^2}} = \lim_{(h,\,k) \to (0,\,0)} \sqrt{\frac{1 - \cos(h\,k)}{h^2 + k^2}} = \lim_{(h,\,k) \to (0,\,0)} \sqrt{\frac{h^2\,k^2}{2\left(h^2 + k^2\right)}} = 0 \] segue che \(f\) risulta differenziabile in \((0,\,0)\) (risposta c corretta).

Morale: come hai giustamente constatato, vi sono due risposte corrette.

il problema è che l'unica risposta corretta è: differenziabile in (0,0), per cui volevo capire in base a cosa l'altra risposta viene esclusa.

[pippo14]

"TeM":[quote="pippo1468"]il problema è che l'unica risposta corretta è: differenziabile in (0,0)

Sì, è vero; vedi sopra, ho corretto. [/quote]

ok grazie!