Derivabilità su tutto R

[Pablitos23]

Ho questa funzione :
$f(x) = |x|x $

Per verificare la sua derivabilità in tutto $RR$ bisogna calcolare il Dominio della derivata prima, giusto?

$f'(x) = x^2/|x|+|x|$

quindi dovrebbe risultare derivabile in tutto $RR$ tranne nel punto $0$ ?

[stormy1]

forse è piu corretto arrivare al tuo risultato osservando che
$f(x)=x^2$ per $x geq 0$
$f(x)=-x^2$ per $x <0$

[Pablitos23]

Quindi è derivabile su tutta $R$ anche nel punto 0

[stormy1]

direi proprio di sì

[stormy1]

del resto,per tagliare la testa al toro,puoi sempre applicare la definizione di derivata e far vedere che le derivate destra e sinistra coincidono

[Pablitos23]

Quindi facendo:

$lim_(h->0^+)(|x_0+h| x_0+h - |x_0|x_0 )/h = 0 $
$lim_(h->0^-)(|x_0+h| x_0+h - |x_0|x_0)/h = 0 $

[stormy1]

no,aspetta,$f(0)=0;f(0+h)=h^2$ per $h >0$;$f(0+h)=-h^2$ per $h<0$
usa queste posizioni per calcolare le derivate destra e sinistra in $0$

[Pablitos23]

E così coincidono derivata dx e sx?

[vict85]

"Paolovox":Per verificare la sua derivabilità in tutto $RR$ bisogna calcolare il Dominio della derivata prima, giusto?

$f'(x) = x^2/|x|+|x|$

Potevi anche concludere semplificando in \(\displaystyle \frac{2 x^2}{\lvert x\rvert} \).

Comunque direi che la dimostrazione in \(\displaystyle 0 \) la si dovrebbe fare usando la definizione (il limite è davvero semplice).

[vict85]

Mi sono accordo che, supposto \(\displaystyle x\neq 0 \) si poteva semplificare ulteriormente in \(\displaystyle 2\lvert x\rvert \) (basta moltiplicare numeratore e denominatore per \(\displaystyle \lvert x\rvert \) ).

[Pablitos23]

Grazie mille ultima cosa. la $|x|$ modulo si può semplificare con $x^2$ o no?
Così da trovarci $2x$?

[vict85]

"Paolovox":Grazie mille ultima cosa. la $|x|$ modulo si può semplificare con $x^2$ o no?
Così da trovarci $2x$?

Se semplifichi non ti viene quello.

[Pablitos23]

Perchè no? dato che qualsiasi valore positivo o negativo sostituito alla x, resterà comunque positivo.

[vict85]

\(x^2 = \lvert x \rvert\lvert x \rvert\) ma è diverso da \(\lvert x \rvert x\). Quindi se dividi \(x^2\) per \(\lvert x \rvert\) ricavi \(\lvert x \rvert\).