Derivabilità: passaggi che non capisco
salve,
Ci sono un paio di passaggi su un esercizio del professore che non capisco:
l'esercizio dice, sia $h1(x)=frac{log(1+x)}{x}-1$ per $x!=0$ e $h1(x)=0$ per $x=0$ dire se $h1$ è derivabile nel punto $0$
applicando direttamente la definizione di limite del rapporto incrementale e poi anche il teorema di de l'Hopital:
$lim_{x->0} frac{h1(x)-h1(0)}{x-0}=$ ma $h1(0)=0$ quindi diventa
$=lim_{x->0} frac{frac{log(1+x)}{x}-1}{x}=$ e qui non ho capito.. ha moltiplicato entrambi per $x$? $x*x=x^2$ e $-1*x=-x$ perchè?
$=lim_{x->0} frac{log(1+x)-x}{x^2}=$ con de l'Hopital passiamo alla derivata prima
$=lim_{x->0} frac{frac{1}{1+x}-1}{2x}=$ qui di nuovo non ho capito come ha spostato le $(1+x)$
$=lim_{x->0} frac{1-1-x}{(1+x)2x}=$ ora, $1 -1=0$ e la $x$ si semplifica
$=lim_{x->0} frac{-1}{2(1+x)}=-1/2$ ha eliminato $(1+x)$ per il principio degli infinitesimi?
Grazie della pazienza
Ci sono un paio di passaggi su un esercizio del professore che non capisco:
l'esercizio dice, sia $h1(x)=frac{log(1+x)}{x}-1$ per $x!=0$ e $h1(x)=0$ per $x=0$ dire se $h1$ è derivabile nel punto $0$
applicando direttamente la definizione di limite del rapporto incrementale e poi anche il teorema di de l'Hopital:
$lim_{x->0} frac{h1(x)-h1(0)}{x-0}=$ ma $h1(0)=0$ quindi diventa
$=lim_{x->0} frac{frac{log(1+x)}{x}-1}{x}=$ e qui non ho capito.. ha moltiplicato entrambi per $x$? $x*x=x^2$ e $-1*x=-x$ perchè?
$=lim_{x->0} frac{log(1+x)-x}{x^2}=$ con de l'Hopital passiamo alla derivata prima
$=lim_{x->0} frac{frac{1}{1+x}-1}{2x}=$ qui di nuovo non ho capito come ha spostato le $(1+x)$
$=lim_{x->0} frac{1-1-x}{(1+x)2x}=$ ora, $1 -1=0$ e la $x$ si semplifica
$=lim_{x->0} frac{-1}{2(1+x)}=-1/2$ ha eliminato $(1+x)$ per il principio degli infinitesimi?
Grazie della pazienza
Risposte
Scusa ma $h_1(0)=0$ come tu hai scritto oppure è $h_1(0)=1$?
Controllato $h1(0)=0$ ed è continua per quel $-1$
Da quel dici allora tale funzione non è continua in $0$ per cui ivi non è derivabile!
L'unica logica plausibile è che la funzione ab origine la chiama $h$ non $h_1$; quest'ultima è definita come [tex]$h_1(x)=\begin{cases}h(x)=\frac{\log(x+1)}{x}\iff -10\\-1\iff x=0\end{cases}$[/tex], si ha che è continua e si verifica, come tu hai postato, che essa sia derivabile in $0$.
Chiarito ciò, quali sono gli altri dubbi che ti restano?
EDIT: non ho letto bene la definizione di $h(x)$ -_- per cui si ignori questo post!
L'unica logica plausibile è che la funzione ab origine la chiama $h$ non $h_1$; quest'ultima è definita come [tex]$h_1(x)=\begin{cases}h(x)=\frac{\log(x+1)}{x}\iff -1
Chiarito ciò, quali sono gli altri dubbi che ti restano?
EDIT: non ho letto bene la definizione di $h(x)$ -_- per cui si ignori questo post!
$lim_{x->0} frac{log(1+x)}{x}-1=1-1=0$ è continua, lo so perchè era l'esercizio precedente
Mi era sfuggito quel $-1$ dalla definizione di $h_1(x)$ 
. Altri 3 giorni mi dovrete sopportare ed andrò in vacanza 
!
Ti posto il conto per intero: [tex]$\frac{\frac{\log(x+1)}{x}-1}{x}=\frac{\frac{\log(x+1)}{x}-\frac{x}{x}}{x}=\frac{\frac{\log(x+1)-x}{x}}{x}=\frac{\log(x+1)-x}{x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{\log(x+1)-x}{x^2}$[/tex]; lo stesso "gioco" lo esegue in seguito nel conto che hai riportato, esattamente tra il terzultimo ed il penultimo passaggio.
. Altri 3 giorni mi dovrete sopportare ed andrò in vacanza !Ti posto il conto per intero: [tex]$\frac{\frac{\log(x+1)}{x}-1}{x}=\frac{\frac{\log(x+1)}{x}-\frac{x}{x}}{x}=\frac{\frac{\log(x+1)-x}{x}}{x}=\frac{\log(x+1)-x}{x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{\log(x+1)-x}{x^2}$[/tex]; lo stesso "gioco" lo esegue in seguito nel conto che hai riportato, esattamente tra il terzultimo ed il penultimo passaggio.
ah, ecco che cosa non capivo.. Grazie di avermi spiegato il giochetto e buone vacanze
Grazie di avermi spiegato il giochetto e buone vacanze
Dovere di utente. Grazie, altrettante!
"unit1":
$=lim_{x->0} frac{-1}{2(1+x)}=-1/2$ ha eliminato $(1+x)$ per il principio degli infinitesimi?
Mmh.. No. Ha semplicemente calcolato il limite.
"Seneca":
[quote="unit1"]
$=lim_{x->0} frac{-1}{2(1+x)}=-1/2$ ha eliminato $(1+x)$ per il principio degli infinitesimi?
Mmh.. No. Ha semplicemente calcolato il limite.[/quote]
Già, hai ragione, non ci avevo pensato
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