Derivabilità: passaggi che non capisco

unit1
salve,

Ci sono un paio di passaggi su un esercizio del professore che non capisco:

l'esercizio dice, sia $h1(x)=frac{log(1+x)}{x}-1$ per $x!=0$ e $h1(x)=0$ per $x=0$ dire se $h1$ è derivabile nel punto $0$

applicando direttamente la definizione di limite del rapporto incrementale e poi anche il teorema di de l'Hopital:

$lim_{x->0} frac{h1(x)-h1(0)}{x-0}=$ ma $h1(0)=0$ quindi diventa

$=lim_{x->0} frac{frac{log(1+x)}{x}-1}{x}=$ e qui non ho capito.. ha moltiplicato entrambi per $x$? $x*x=x^2$ e $-1*x=-x$ perchè?

$=lim_{x->0} frac{log(1+x)-x}{x^2}=$ con de l'Hopital passiamo alla derivata prima

$=lim_{x->0} frac{frac{1}{1+x}-1}{2x}=$ qui di nuovo non ho capito come ha spostato le $(1+x)$

$=lim_{x->0} frac{1-1-x}{(1+x)2x}=$ ora, $1 -1=0$ e la $x$ si semplifica

$=lim_{x->0} frac{-1}{2(1+x)}=-1/2$ ha eliminato $(1+x)$ per il principio degli infinitesimi?

Grazie della pazienza :)

Risposte
j18eos
Scusa ma $h_1(0)=0$ come tu hai scritto oppure è $h_1(0)=1$?

unit1
Controllato $h1(0)=0$ ed è continua per quel $-1$

j18eos
Da quel dici allora tale funzione non è continua in $0$ per cui ivi non è derivabile!
L'unica logica plausibile è che la funzione ab origine la chiama $h$ non $h_1$; quest'ultima è definita come [tex]$h_1(x)=\begin{cases}h(x)=\frac{\log(x+1)}{x}\iff -10\\-1\iff x=0\end{cases}$[/tex], si ha che è continua e si verifica, come tu hai postato, che essa sia derivabile in $0$.

Chiarito ciò, quali sono gli altri dubbi che ti restano?

EDIT: non ho letto bene la definizione di $h(x)$ -_- per cui si ignori questo post!

unit1
$lim_{x->0} frac{log(1+x)}{x}-1=1-1=0$ è continua, lo so perchè era l'esercizio precedente

j18eos
Mi era sfuggito quel $-1$ dalla definizione di $h_1(x)$ #-o. Altri 3 giorni mi dovrete sopportare ed andrò in vacanza :weedman:!

Ti posto il conto per intero: [tex]$\frac{\frac{\log(x+1)}{x}-1}{x}=\frac{\frac{\log(x+1)}{x}-\frac{x}{x}}{x}=\frac{\frac{\log(x+1)-x}{x}}{x}=\frac{\log(x+1)-x}{x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{\log(x+1)-x}{x^2}$[/tex]; lo stesso "gioco" lo esegue in seguito nel conto che hai riportato, esattamente tra il terzultimo ed il penultimo passaggio.

unit1
ah, ecco che cosa non capivo.. :) Grazie di avermi spiegato il giochetto e buone vacanze :)

j18eos
Dovere di utente. Grazie, altrettante!

Seneca1
"unit1":


$=lim_{x->0} frac{-1}{2(1+x)}=-1/2$ ha eliminato $(1+x)$ per il principio degli infinitesimi?


Mmh.. No. Ha semplicemente calcolato il limite.

unit1
"Seneca":
[quote="unit1"]

$=lim_{x->0} frac{-1}{2(1+x)}=-1/2$ ha eliminato $(1+x)$ per il principio degli infinitesimi?


Mmh.. No. Ha semplicemente calcolato il limite.[/quote]

Già, hai ragione, non ci avevo pensato :)

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