Derivabilità non implica continuità in 2 variabili,perché?
Ciao ho un problema con la teoria in analisi 2 per quanto riguarda il fatto che la derivabilità non implica la continuità (escludendo l'ipotesi che le derivate siano equilimitate).
Per quanto ne ho capito la dimostrazione parte dalla formula della derivabilità (ad esempio rispetto ad x)
$\lim_{h \to \0}(f(x+h,y)-f(x,y))/h$=$f_x (x,y)$
So poi che per dire che la funzione è continua,devo verificare che
$\lim_{h \to \0}(f(x,y)-f(x_0,y_0))=0$
moltiplicando e dividendo la formula della continuità per h,mi ritrovo davanti ad un'equazione del tipo
$\lim_{h \to \0}[(f(x+h,y)-f(x,y))h]/h=0$ che risulta uguale a $f_x (x,y) h=0$
Quindi posso dimostrare che per $h \to \0$ , $f_x (x,y) h=0$..e a questo punto?come dimostro che la derivabilità non implica la continuità?Basta solo dire che la derivabilità mi dà risposte sul comportamento della funzione solo lungo gli assi mentra la continuità studia il comportamento della funzione nell'intorno di tutti i suoi punti? E allora a cosa servivano questi calcoli?Scusate se la domanda vi sembrerà stupida,ma non riesco a uscirne..Grazie mille!
Per quanto ne ho capito la dimostrazione parte dalla formula della derivabilità (ad esempio rispetto ad x)
$\lim_{h \to \0}(f(x+h,y)-f(x,y))/h$=$f_x (x,y)$
So poi che per dire che la funzione è continua,devo verificare che
$\lim_{h \to \0}(f(x,y)-f(x_0,y_0))=0$
moltiplicando e dividendo la formula della continuità per h,mi ritrovo davanti ad un'equazione del tipo
$\lim_{h \to \0}[(f(x+h,y)-f(x,y))h]/h=0$ che risulta uguale a $f_x (x,y) h=0$
Quindi posso dimostrare che per $h \to \0$ , $f_x (x,y) h=0$..e a questo punto?come dimostro che la derivabilità non implica la continuità?Basta solo dire che la derivabilità mi dà risposte sul comportamento della funzione solo lungo gli assi mentra la continuità studia il comportamento della funzione nell'intorno di tutti i suoi punti? E allora a cosa servivano questi calcoli?Scusate se la domanda vi sembrerà stupida,ma non riesco a uscirne..Grazie mille!
Risposte
Quando devi dimostrare una cosa del genere la cosa più semplice è cercare un controesempio.
Prova la funzione caratteristica degli assi: è proprio l'idea che dicevi tu sul fatto che la derivabilità ti dà informazioni solo sugli assi
Prova la funzione caratteristica degli assi: è proprio l'idea che dicevi tu sul fatto che la derivabilità ti dà informazioni solo sugli assi
il fatto è che la docente all'orale vuole sapere la dimostrazione generale,che poi può essere supportata da esempi e controesempi,ma devo per forza esordire spiegando con quei calcoli che ho scritto ieri (ed altri suppongo,visto che con questi non trovo una conclusione immediata) ..
Mostrare un esempio che rispetta la proprietà $a$ e non la $b$ dimostra che \(a \not \Rightarrow b\). Non è un supporto
ok..ma comunque sia mi interessava sapere i ragionamenti fatti rispetto alle formule che ho scritto io....
"manu1590":
So poi che per dire che la funzione è continua,devo verificare che
$\lim_{h \to \0}(f(x,y)-f(x_0,y_0))=0$
Sbagliato. Devi verificare che
\[\lim_{h\to 0, k \to 0} f(x_0+h, y_0+k)-f(x_0, y_0)=0.\]
Nota bene che le variabili incrementate sono due.
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