Derivabilità nei punti
Salve a tutti! Cimentandomi nello studio di funzione mi è sorto un dubbio che mi ha portato molto a rimuginare.
Data una funzione $ f(x) $ con dominio $ (-∞,-1)uu(2,+∞) $
Considerando la sua derivata:
$ f'(x)= \{ ( (x+4)/(2(x^2-x-2)root(2)((x^2-x-2)) ), ", se " x < -1),(-(x+4)/(2(x^2-x-2)root(2)((x^2-x-2)) ), ", se " x > 2):} $
la prima funzione del sistema è se è $ x<-1 $, mentre la seconda funzione del sistema è se è $ x>2 $.
Adesso, una funzione si dice derivabile in un punto se esistono finiti e uguali i limiti a sinistra e a destra del punto considerato.
Detto ciò, l'esercizio mi chiede di studiare la derivabilità nel suo dominio e, la cosa che mi è venuta in automatico fare è calcolare il limite della derivata a sx e dx di -1 e 2, ma il fatto è che il limite a dx di -1 e a sx di -2 non possono essere calcolati come si evince dal sistema (essendo la funzione definita a tratti). Come si procede in questi casi? Devo assumere che il limite della derivata in -1 e 2 non esiste?
Data una funzione $ f(x) $ con dominio $ (-∞,-1)uu(2,+∞) $
Considerando la sua derivata:
$ f'(x)= \{ ( (x+4)/(2(x^2-x-2)root(2)((x^2-x-2)) ), ", se " x < -1),(-(x+4)/(2(x^2-x-2)root(2)((x^2-x-2)) ), ", se " x > 2):} $
la prima funzione del sistema è se è $ x<-1 $, mentre la seconda funzione del sistema è se è $ x>2 $.
Adesso, una funzione si dice derivabile in un punto se esistono finiti e uguali i limiti a sinistra e a destra del punto considerato.
Detto ciò, l'esercizio mi chiede di studiare la derivabilità nel suo dominio e, la cosa che mi è venuta in automatico fare è calcolare il limite della derivata a sx e dx di -1 e 2, ma il fatto è che il limite a dx di -1 e a sx di -2 non possono essere calcolati come si evince dal sistema (essendo la funzione definita a tratti). Come si procede in questi casi? Devo assumere che il limite della derivata in -1 e 2 non esiste?
Risposte
Qual è la funzione?
"gugo82":
Qual è la funzione?
La funzione è la seguente:
$f(x):= \{ ( -x/sqrt(x^2-x-2), ", se " x<-1),( x/sqrt(x^2-x-2) , ", se " x>2):} $.
Beh, allora perché porsi il problema di stabilire cosa accade in $-1$ ed in $2$?
"gugo82":
Beh, allora perché porsi il problema di stabilire cosa accade in $-1$ ed in $2$?
Non bisogna verificarne la derivabilità perché non è definita nella funzione di partenza?
Già.
Il fatto che il tuo post precedente si chiuda con un “?” mi porta a chiedere: qual è la definizione di funzione derivabile in un punto? In quali punti è data?
Il fatto che il tuo post precedente si chiuda con un “?” mi porta a chiedere: qual è la definizione di funzione derivabile in un punto? In quali punti è data?
"gugo82":
qual è la definizione di funzione derivabile in un punto? In quali punti è data?
In base a quanto ricordo, una funzione si dice derivabile in un punto se esiste finito il limite destro e sinistro del rapporto incrementale (ovviamente il risultato dei due limiti deve coincidere). Il risultato corrisponde alla retta tangente alla curva in quel punto. E credo che sia data dai punti interni al suo dominio
Già… Al massimo, se proprio vuoi rilassare le ipotesi, puoi prendere punti appartenenti al dominio e di accumulazione per esso, ma di più non puoi fare.
Quindi i punti in cui valutare la derivabilità sono anzitutto punti del dominio, e questo non è il caso.
Quindi i punti in cui valutare la derivabilità sono anzitutto punti del dominio, e questo non è il caso.
"gugo82":
Già… Al massimo, se proprio vuoi rilassare le ipotesi, puoi prendere punti appartenenti al dominio e di accumulazione per esso, ma di più non puoi fare.
Quindi i punti in cui valutare la derivabilità sono anzitutto punti del dominio, e questo non è il caso.
Tutto chiarissimo, grazie mille!
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