Derivabilità implica continuità: chiarezza nella dimostrazio
Ciao a tutti, non riesco a capire un passaggio della dimostrazione di questo teorema, ve la ripropongo:
Ip $ f(x) $ è derivabile in $ x0 $
Th $ f(x) $ è continua in $ x0 $
Dimostrazione
1) per la tesi la funzione è continua quindi $ lim_(x -> x0) f(x)= f(x0) $
2) O anche: $ lim_(h -> 0) f(x0+h)= f(x0) $
3) $ lim_(h -> 0) f(x0+h)- f(x0)=0 $
4) Devo dimostrare quindi che tutto ciò a sinistra dell'uguale è pari a 0
5) Poi moltiplico e divido per $ h $ e arrivo a $ f'(x0)lim_(h -> 0) h=0 $ e l'ho dimostrato.
ma non capisco il passaggio da 1) a 2), perchè fa cosi?
Grazie
Ip $ f(x) $ è derivabile in $ x0 $
Th $ f(x) $ è continua in $ x0 $
Dimostrazione
1) per la tesi la funzione è continua quindi $ lim_(x -> x0) f(x)= f(x0) $
2) O anche: $ lim_(h -> 0) f(x0+h)= f(x0) $
3) $ lim_(h -> 0) f(x0+h)- f(x0)=0 $
4) Devo dimostrare quindi che tutto ciò a sinistra dell'uguale è pari a 0
5) Poi moltiplico e divido per $ h $ e arrivo a $ f'(x0)lim_(h -> 0) h=0 $ e l'ho dimostrato.
ma non capisco il passaggio da 1) a 2), perchè fa cosi?
Grazie
Risposte
Ciao.
Non è che sia scritto benissimo. Si vede che l'idea è giusta ma è formalizzata in maniera non troppo chiara.
Tu hai una funzione [tex]f: A\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] che per ipotesi è derivabile in [tex]$x_0 \in A$[/tex] ([tex]A[/tex] aperto di [tex]$\mathbb{R}$[/tex]). Questo significa che esiste finito
[tex]\displaystyle
\lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_{0}} = f'(x_{0})[/tex]
Ora considera [tex]$\lim_{x \to x_0} f(x)$[/tex]. Il tuo obiettivo è far vedere che [tex]$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_{0})[/tex] o, il che è lo stesso, [tex]$\lim_{x \to x_0} f(x) - f(x_{0})=0$[/tex]. Moltiplica e dividi per [tex]$(x-x_{0})$[/tex]:
[tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}} (x-x_{0}) = f'(x_{0}) \lim_{x \to x_0}(x-x_{0})=0[/tex].
Più chiaro ora?
Non è che sia scritto benissimo. Si vede che l'idea è giusta ma è formalizzata in maniera non troppo chiara.
Tu hai una funzione [tex]f: A\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] che per ipotesi è derivabile in [tex]$x_0 \in A$[/tex] ([tex]A[/tex] aperto di [tex]$\mathbb{R}$[/tex]). Questo significa che esiste finito
[tex]\displaystyle
\lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_{0}} = f'(x_{0})[/tex]
Ora considera [tex]$\lim_{x \to x_0} f(x)$[/tex]. Il tuo obiettivo è far vedere che [tex]$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_{0})[/tex] o, il che è lo stesso, [tex]$\lim_{x \to x_0} f(x) - f(x_{0})=0$[/tex]. Moltiplica e dividi per [tex]$(x-x_{0})$[/tex]:
[tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}} (x-x_{0}) = f'(x_{0}) \lim_{x \to x_0}(x-x_{0})=0[/tex].
Più chiaro ora?
Allora, dobbiamo dimostrare che se una funzione $f(x)$ è derivabile nel punto $x_0$, allora essa è continua in $x_0$. Dire che una funzione è continua in $x_0$ significa dire che $lim(x->x_0)f(x)=f(x_0)$, quindi ciò significa dire che $f(x)-f(x_0)=0$, per $x->x_0$, ed è quello che dobbiamo dimostrare. Quindi, costruiamo la seguente uguaglianza:
$f(x)-f(x_0)=((f(x)-f(x_0))/(x-x_0))*(x-x_0)=f'(x_0)*(x-x_0)=0$, per $x->x_0$. Spero sia corretta, ciao
$f(x)-f(x_0)=((f(x)-f(x_0))/(x-x_0))*(x-x_0)=f'(x_0)*(x-x_0)=0$, per $x->x_0$. Spero sia corretta, ciao
"Paolo90":
Ciao.
Non è che sia scritto benissimo. Si vede che l'idea è giusta ma è formalizzata in maniera non troppo chiara.
Tu hai una funzione [tex]f: A\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] che per ipotesi è derivabile in [tex]$x_0 \in A$[/tex] ([tex]A[/tex] aperto di [tex]$\mathbb{R}$[/tex]). Questo significa che esiste finito
[tex]\displaystyle
\lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_{0}} = f'(x_{0})[/tex]
Ora considera [tex]$\lim_{x \to x_0} f(x)$[/tex]. Il tuo obiettivo è far vedere che [tex]$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_{0})[/tex] o, il che è lo stesso, [tex]$\lim_{x \to x_0} f(x) - f(x_{0})=0$[/tex]. Moltiplica e dividi per [tex]$(x-x_{0})$[/tex]:
[tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}} (x-x_{0}) = f'(x_{0}) \lim_{x \to x_0}(x-x_{0})=0[/tex].
Più chiaro ora?
Grazie per la risposta, ho paio di domande riguardanti l'ultima equazione che hai scritto:
Moltiplico tutto per [tex]lim_{x \to x_0}(x-x_{0})[/tex] e non per [tex]$(x-x_{0})$[/tex]: , giusto?
[tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}} (x-x_{0})[/tex]è pari a 0 perchè semplifico e poi attuo la definizione di limite, giusto?
[tex]f'(x_{0}) \lim_{x \to x_0}(x-x_{0})=0[/tex] perchè è uguale a zero?
L'idea di base è che, essendo il denominatore una quantità che tende a 0, l'unica speranza che quel limite ha di convergere è che assuma forma indeterminata, cioè che anche il numeratore tenda a zero, da qui la tesi.
"lisdap":Attenzione, non sono corrette.
Allora, dobbiamo dimostrare che se una funzione $f(x)$ è derivabile nel punto $x_0$, allora essa è continua in $x_0$. Dire che una funzione è continua in $x_0$ significa dire che $lim(x->x_0)f(x)=f(x_0)$, quindi ciò significa dire che $f(x)-f(x_0)=0$, per $x->x_0$
...
$f(x)-f(x_0)=((f(x)-f(x_0))/(x-x_0))*(x-x_0)=f'(x_0)*(x-x_0)=0$, per $x->x_0$. Spero sia corretta, ciao
$lim_{x->x_0}f(x)=f(x_0)$ significa dire che $lim_{x->x_0}f(x)-f(x_0)=0$, non certo che "$f(x)-f(x_0)=0$, per $x->x_0$" (frase oltretutto dal significato ambiguo).
Idem per l'uguaglianza sotto.
"David.phisics":Condivido questa visione verdastra. Toglierei, per stare in pace con la mia coscienza, ", da qui la tesi"
L'idea di base è che, essendo il denominatore una quantità che tende a 0, l'unica speranza che quel limite ha di convergere è che assuma forma indeterminata, cioè che anche il numeratore tenda a zero, da qui la tesi.
"Fioravante Patrone":Attenzione, non sono corrette.
[quote="lisdap"]Allora, dobbiamo dimostrare che se una funzione $f(x)$ è derivabile nel punto $x_0$, allora essa è continua in $x_0$. Dire che una funzione è continua in $x_0$ significa dire che $lim(x->x_0)f(x)=f(x_0)$, quindi ciò significa dire che $f(x)-f(x_0)=0$, per $x->x_0$
...
$f(x)-f(x_0)=((f(x)-f(x_0))/(x-x_0))*(x-x_0)=f'(x_0)*(x-x_0)=0$, per $x->x_0$. Spero sia corretta, ciao
$lim_{x->x_0}f(x)=f(x_0)$ significa dire che $lim_{x->x_0}f(x)-f(x_0)=0$, non certo che "$f(x)-f(x_0)=0$, per $x->x_0$" (frase oltretutto dal significato ambiguo).
Idem per l'uguaglianza sotto.[/quote]
Non capisco, non dovrebbe essere la stessa cosa?
Be', tra un'uguaglianza e un passaggio al limite c'è una discreta differenza, no?
"Fioravante Patrone":Condivido questa visione verdastra. Toglierei, per stare in pace con la mia coscienza, ", da qui la tesi"[/quote]
[quote="David.phisics"]L'idea di base è che, essendo il denominatore una quantità che tende a 0, l'unica speranza che quel limite ha di convergere è che assuma forma indeterminata, cioè che anche il numeratore tenda a zero, da qui la tesi.
Hai ragione, intendevo semplicemente che imponendo che il numeratore tenda a zero si arriva subito alla definizione di continuità in quel punto. D'altronde bisognerebbe verificare l'idea in maniera più rigorosa, come ha fatto giustamente Paolo.A questo proposito ricordo una domanda che il prof di Analisi 1 aveva fatto ad un mio collega all'esame: trovare una funzione tale che il limite del rapporto incrementale non costituisse forma indeterminata. Si può considerare una funzione non continua in quel punto.
Una volta che avrai capito la questione.
Esercizio. Provare che una funzione che ammette derivata destra e sinistra in un punto, è qui continua.
Esercizio. Provare che una funzione che ammette derivata destra e sinistra in un punto, è qui continua.
"David.phisics":
A questo proposito ricordo una domanda che il prof di Analisi 1 aveva fatto ad un mio collega all'esame: trovare una funzione tale che il limite del rapporto incrementale non costituisse forma indeterminata.
Basta scegliere una funzione costante.
"gugo82":
Basta scegliere una funzione costante.
Beh risulta sempre nella forma 0/0, solo che si risolve banalmente dato che il numeratore è sempre uguale a 0 mentre il denominatore tende a 0, quindi risulterebbe il limite di una funzione identicamente nulla.
Ricorda che se una funzione definita in [tex]$[a,b]\setminus\{ c\}$[/tex] è nulla dappertutto, il suo limite per [tex]$x\to c$[/tex] non è in forma indeterminata.
(Questa banalità sembra sfuggire a molti studenti... Mi domando perchè!)
(Questa banalità sembra sfuggire a molti studenti... Mi domando perchè!)
@gugo82
si può sostenere che è una forma indeterminata, per quanto "stupida"
dopotutto, hai una frazione e sia num che denom vanno a zero
poi, certo che si può far la divisione... d'altronde le forme indeterminate mica lo restano in eterno!
si può sostenere che è una forma indeterminata, per quanto "stupida"
dopotutto, hai una frazione e sia num che denom vanno a zero
poi, certo che si può far la divisione... d'altronde le forme indeterminate mica lo restano in eterno!
"Richard_Dedekind":
Be', tra un'uguaglianza e un passaggio al limite c'è una discreta differenza, no?
la mia non è un'uguaglianza, perchè ho specificato che $x->x_0$
Bah, a casa mia [tex]f(x)-f(x_0)=0[/tex] è un'uguaglianza, che è verificata solo per determinati valori assunti da [tex]x[/tex]. Quello che volevi scrivere l'ho capito, ma formalmente è sbagliato; avresti dovuto scrivere [tex]f(x)-f(x_0)\to 0\,\,\text{per }\,\,x\to x_0[/tex] o quello che era.
"Fioravante Patrone":Attenzione, non sono corrette.
[quote="lisdap"]Allora, dobbiamo dimostrare che se una funzione $f(x)$ è derivabile nel punto $x_0$, allora essa è continua in $x_0$. Dire che una funzione è continua in $x_0$ significa dire che $lim(x->x_0)f(x)=f(x_0)$, quindi ciò significa dire che $f(x)-f(x_0)=0$, per $x->x_0$
...
$f(x)-f(x_0)=((f(x)-f(x_0))/(x-x_0))*(x-x_0)=f'(x_0)*(x-x_0)=0$, per $x->x_0$. Spero sia corretta, ciao
$lim_{x->x_0}f(x)=f(x_0)$ significa dire che $lim_{x->x_0}f(x)-f(x_0)=0$, non certo che "$f(x)-f(x_0)=0$, per $x->x_0$" (frase oltretutto dal significato ambiguo).
Idem per l'uguaglianza sotto.[/quote]
Ciao quando impongo $lim_{x->x_0}f(x)-f(x_0)=0$ devo considerare il limite solo di $f(x)$ e dopo sottrarre $f(x_0)$ o il limite di tutto $f(x)-f(x_0)$ ?
le 2 cose sono equivalenti $ lim_(x -> x_0)[f(x)-f(x_0)]=[lim_(x -> x_0) f(x)]-f(x_0) $
Sisi giusto $f(x_0)$ è una costante e quindi il suo limite è uguale a $f(x_0)$. Grazie mille.
Inoltre noi dividiamo e moltiplichiamo per $x-x_0$ per costruirci il limite del rapporto incrementale. Giusto?
Inoltre noi dividiamo e moltiplichiamo per $x-x_0$ per costruirci il limite del rapporto incrementale. Giusto?
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