Derivabilità implica continuità

[michele.assirelli]

Teorema: Siano $I$ intervallo $f:I->R$ e $c \in I$
Se $f$ è derivabile in $c$ allora $f$ è continua in $c$

Dimostrazione:
Per dimostrazione precedente se $f$ derivabile in $c$ allora $EE φ:I->R$ continua in $c$ e tale che $AA x \in I-{c}$ si ha $f(x)=f(c)+φ(x)(x-c)$
Allora $f$ è continua in $c$ perchè somma di funzioni continue in $c$


So che questa non è la solita dimostrazione che si dà del teorema, ma a lezione abbiamo fatto questa e vorrei cercare di capirla.
Non mi risulta chiaro l'ultimo passaggio, noi sappiamo che $φ$ è continua in $c$, e da questo come si arriva alla continuità di $f$ in $c$?

[Zero87]

Ciao

"WeP":$ f(x)=f(c)+φ(x)(x-c) $
Allora $ f $ è continua in $ c $ perchè somma di funzioni continue in $ c $

So che questa non è la solita dimostrazione che si dà del teorema, ma a lezione abbiamo fatto questa e vorrei cercare di capirla.
Non mi risulta chiaro l'ultimo passaggio, noi sappiamo che $ φ $ è continua in $ c $, e da questo come si arriva alla continuità di $ f $ in $ c $?

$f(c)$ è un valore costante e la funzione costante è continua;
$\phi(x)$ è continua per definizione e $(x-c)$ è un polinomio di primo grado (continuo) quindi $\phi(x)(x-c)$ è continua perché prodotto di funzioni continue.

Ergo, la somma di due funzioni continue è continua.

[donald_zeka]

Più che altro andrebbe dimostrato che quel $varphi$ esiste...

[michele.assirelli]

Grazie
L'esistenza di $φ$ l'avevamo provata con un teorema precedente