Derivabilità funzione a due variabili

[romantiko88]

L'esercizio chiedeva di studiare la derivabilità nel punto $(0,0)$ della funzione che vale

$ \frac{2x^3 -y|y|}{sqrt{x+y^2}}$ per $(x,y)!=(0,0)$ e 0 nel punto (0,0)

e quindi stabilire se esiste la derivata direzionale nel punto (0,0) lungo la direzione (0,1) [che sarebbe la direzione dell'asse y, quindi la derivata parziale rispetto a y]

Io ho considerato il caso in cui $y>=0$ e il caso in cui $y<0$ e calcolato le rispettive derivate parziali che se non ho commesso errori dovrebbero risultare

per $y>=0$

$f'_{x1}=\frac{10x^3 +12x^2 y^2 + y^2}{2*(x+y^2)*sqrt{x+y^2}}$

$f'_{y1}=\frac{-y^3 -2xy - 2x^3 y}{(x+y^2)*sqrt{x+y^2}}$

mentre per y<0

$f'_{x2}=\frac{10x^3 +12x^2 y^2 - y^2}{2*(x+y^2)*sqrt{x+y^2}}$

$f'_{y2}=\frac{y^3 +2xy - 2x^3 y}{(x+y^2)*sqrt{x+y^2}}$

ora devo calcolare il limite di ogni derivata per (x,y) ->(0,0) e vedere se esiste tale limite?

[romantiko88]

mi potete aiutare per favore?

[Knuckles1]

occhio agli up non prima di tre giorni sennò ti rompono e rischi di non ricevere risposta

[romantiko88]

nessuno mi può aiutare?

[Rigel1]

Per quanto riguarda la derivata parziale $f'_y(0,0)$, basta usare la definizione:
poiché $f(0,y) = -\frac{y|y|}{\sqrt{y^2}} = -y$, hai subito che
$f'_y(0,0) = -1$.

Per il resto tieni conto che, a parte l'origine, la funzione è definita solo dove $x+y^2>0$.

[romantiko88]

perchè dovrei risolvere così? La x non vale 0, non devo fare prima la derivata rispetto a y e vedere cosa accade per (x,y)=(0,0)?