Derivabilità funzione
buongiorno a tutti,
se ho la funzione $f(x,y)=sqrt(4x^2+9y^2-36)log(x-|y|)$ il cui dominio è $dom={(x,y): 4x^2+9y^2-36>= 0, x-|y|> 0}$ che è una funzione continua nel suo insieme di definizione visto che è composizione di funzioni continue.
Ora ne vado a studiare la derivabilità.
se vado a fare la derivata rispetto ad x il dominio di fx è uguale a quello della funzione quindi è sempre derivabile rispetto ad x nell'aperto (in quanto va escluso $4x^2+9y^2-36= 0$ dal dominio)(non vado a studiare sulla frontiera visto che mi è richiesto dall'esercizio di studiare la derivabilità solo nell'aperto)
se vado a derivare rispetto ad y il dominio è $dom={(x,y): 4x^2+9y^2-36> 0, x-|y|> 0, y != 0}$ come si va a verificare se è derivabile in y=0 ? come si imposta il rapporto incrementale in questo caso visto che sono infiniti punti in cui si dovrebbe controllare??
grazie a tutti anticipatamente
se ho la funzione $f(x,y)=sqrt(4x^2+9y^2-36)log(x-|y|)$ il cui dominio è $dom={(x,y): 4x^2+9y^2-36>= 0, x-|y|> 0}$ che è una funzione continua nel suo insieme di definizione visto che è composizione di funzioni continue.
Ora ne vado a studiare la derivabilità.
se vado a fare la derivata rispetto ad x il dominio di fx è uguale a quello della funzione quindi è sempre derivabile rispetto ad x nell'aperto (in quanto va escluso $4x^2+9y^2-36= 0$ dal dominio)(non vado a studiare sulla frontiera visto che mi è richiesto dall'esercizio di studiare la derivabilità solo nell'aperto)
se vado a derivare rispetto ad y il dominio è $dom={(x,y): 4x^2+9y^2-36> 0, x-|y|> 0, y != 0}$ come si va a verificare se è derivabile in y=0 ? come si imposta il rapporto incrementale in questo caso visto che sono infiniti punti in cui si dovrebbe controllare??
grazie a tutti anticipatamente
Risposte
Io comincierei col calcolare la derivata rispetto a y in un generico punto dove la funzione è sicuramente derivabile.
Dovrebbe risultare $(18y)/(2sqrt(4x^2+9y^2-36))log(x-|y|)-sqrt(4x^2+9y^2-36)/(x-|y|)y/|y|$. A questo punto la farei tendere ad un generico punto del tipo $(a,0)$.
Il primo termine va a $0$, a meno che $a=+-3$, che si può discutere successivamente. Il secondo termine non ammette limite a meno che non tenda a $0$, poichè il suo segno dipende dal segno di $y$. Ricordando che una derivata non ammette salti, si deduce che la funzione non è sicuramente derivabile rispetto ad $y$ in tutti i punti $(a,=0)$ con $a>3$ o $a<-3$. Resta da studiare cosa accade in $(3,0)$ e in $(-3,0)$.
Dovrebbe risultare $(18y)/(2sqrt(4x^2+9y^2-36))log(x-|y|)-sqrt(4x^2+9y^2-36)/(x-|y|)y/|y|$. A questo punto la farei tendere ad un generico punto del tipo $(a,0)$.
Il primo termine va a $0$, a meno che $a=+-3$, che si può discutere successivamente. Il secondo termine non ammette limite a meno che non tenda a $0$, poichè il suo segno dipende dal segno di $y$. Ricordando che una derivata non ammette salti, si deduce che la funzione non è sicuramente derivabile rispetto ad $y$ in tutti i punti $(a,=0)$ con $a>3$ o $a<-3$. Resta da studiare cosa accade in $(3,0)$ e in $(-3,0)$.
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