Derivabilità funzione

[Anacleto13]

Ciao, ragazzi ho un problema con questo esercizio..

Siano $alpha>0$ e $f:RtoR$

$f(x)={((pi/2-arctan(1/(x-7)))^alpha,if x>7),(0,if x=7),((pi/2+arctan(1/(x-7)))^alpha,if x<7):}$

al variare di $alpha$ discutere la derivabilità di f nel punto x=7 e classificare il tipo di non derivabilità

ok, studio la continuità e ho che f è continua..
ora calcolo la derivata prima.

$f'(x)={(alpha(pi/2-arctan(1/(x-7)))^(alpha-1)(-1/(1/(x-7)^2+1)(-2/(x-7)^4)),if x>7),(0,if x=7),(alpha(pi/2-arctan(1/(x-7)))^(alpha-1)(1/(1/(x-7)^2+1)(-2/(x-7)^4)),if x<7):}$


e qui mi sa che mi sto un pò perdendo perché anche andando a calcolare i limiti mi escono forme indeterminate
qualche aiuto ??

[Studente Anonimo]

Meglio procedere mediante la definizione:

$[lim_(h->0^+)([pi/2-arctan(1/h)]^\alpha)/h] ^^ [lim_(h->0^-)([pi/2+arctan(1/h)]^\alpha)/h]$

sviluppando $arctan(1/h)$ quando $h rarr 0$.

[Anacleto13]

ok, ma per $hto0$ l'argomento dell'arcotangente tende a $+infty$ non posso sviluppare l'arctan..

[Studente Anonimo]

Si può, si può:

$[arctanx=\pi/2-1/x+o(1/x)] ^^ [x rarr +oo]$

$[arctanx=-\pi/2-1/x+o(1/x)] ^^ [x rarr -oo]$

[Anacleto13]

$lim_(h->0^+)([1/h+o(1/h)]^\alpha)/h$ se $alpha=1$ $l=+\infty$

$lim_(h->0^-)([1/h+o(1/h)]^\alpha)/h$ se $alpha=1$ $l=-\infty$

quindi se $alpha=1$ $x=7$ è un punto di cuspide

e qui già ho un errore

[Studente Anonimo]

Veramente:

$[lim_(h->0^+)([pi/2-arctan(1/h)]^\alpha)/h=lim_(h->0^+)([pi/2-pi/2+h+o(h)]^\alpha)/h=lim_(h->0^+)([h+o(h)]^\alpha)/h]$

$[lim_(h->0^-)([pi/2+arctan(1/h)]^\alpha)/h=lim_(h->0^-)([pi/2-pi/2-h+o(h)]^\alpha)/h=lim_(h->0^-)([-h+o(h)]^\alpha)/h]$

[Anacleto13]

Veroooo

Ti ringrazio

[Studente Anonimo]

Ti informo che ho dovuto correggere. Avevo sbagliato il segno del secondo termine nel secondo sviluppo:

$[arctanx=-\pi/2-1/x+o(1/x)] ^^ [x rarr -oo]$

[Anacleto13]

Ok, scusami un ultimo dubbio.

Ma come fai a ricavare lo sviluppo

edit: in rete ho trovato che questo sviluppo fa parte degli sviluppi di Laurent.
Purtroppo questo non fa parte del mio corso, ma l'esercizio si.. quindi dovrei continuare con la derivata prima della funzione

[Studente Anonimo]

A mio parere, quello sviluppo si può tranquillamente utilizzare anche se non se ne conosce l'origine. Ad ogni modo, se proprio non vuoi procedere mediante lo sviluppo, puoi sempre discutere i due limiti della definizione con de l'Hôpital.