Derivabilità e intervalli in cui la funz. è crescente

[lucadipd]

La funzione è:

$ |3x-2|*e^(x-2) $

devo calcolare i punti in cui la funzione è derivabile e in quali intervalli la funzione è crescente.


Io ho provato a risolverla così:

Ho calcolato la derivata:

$ sgn(3x-2)*3*e^(x-2)+|3x-2|*e^(x-2) $

Quindi:

$ e^(x-2)*(3+|3x-2|) $

Poi ho trattato il valore assoluto, dividendo in due casi la derivata ottenuta:

$ e^(x-2)*(3x+1) $ per $x>=0$

$ e^(x-2)*(5-3x) $ per $x<0$

Poste uguali a 0 ho ottenuto 2 punti nei quali le derivate si annullano e sono:

$x= -1/3$ , $x= 5/3$


Ora per trovare gli intervalli dove la funzione è crescente, cosa posso fare?

[chiaraotta1]

La funzione $|3x - 2| * e^(x - 2)$ coincide con questa:
$f(x) = (3x - 2) * e^(x - 2)$ per $x >= 2/3$
e
$f(x) = (2 - 3x) * e^(x - 2)$ per $x < 2/3$.
Perciò la derivata è
$f'(x) = (1 + 3x) * e^(x - 2)$ per $x >= 2/3$
e
$f'(x) = -(1 + 3x) * e^(x - 2)$ per $x < 2/3$.
$f'(x)$ è $> 0$ per $x >= 2/3$, perché, per quei valori di $x$, sono $> 0$ i due fattori $(1 + 3x)$ e $e^(x-2)$. Invece nell'altro tratto $f'(x) = 0$ per $x = -1/3$, $f'(x) > 0$ per $x < -1/3$ e $f'(x) < 0$ per $-1/3 < x < 2/3$. In $x = 2/3$ derivata destra e sinistra sono diverse.