Derivabilità e differenziabilità

[walter891]

Ho la seguente funzione con il parametro $alpha$
$f=(((ysin(x)cos(y)-xsin(y)cos(x))/(x^2+y^2)^(alpha), if (x,y) in RR^2-(0,0)),(0, if (x,y)=(0,0)))$
si chiede di trovare i valori di $alpha$ per cui la funzione è derivabile in $(0,0)$ lungo tutte le direzioni e quelli per cui è differenziabile
passando a coordinate polari calcolo $lim_(rho to 0) ((f(rho cos(theta),rhosin(theta))-f(0,0))/(rho))$ e ottengo che fa $0$ per $alpha<1/2$
ora non so se devo dare la stessa risposta ad entrambe le domande o se c'è qualche differenza

[j18eos]

Io inizierei a capire per quali [tex]$\alpha$[/tex] è continua in [tex]$(0;0)$[/tex], a meno che non mi venga assicurato che lo sia per tutti o lo sia ad occhio!

Poi passerei alle derivate direzionali secondo la loro definizione; non capisco né conosco il ricorso alle coordinate polari!

Infine, sempre mediante la definizione, passeri a studiare la differenziabilità!

[walter891]

la funzione è continua per $alpha<1$
ma ora il concetto è questo: verificare se esistono tutte le derivate direzionali e se la funzione è differenziabile è la stessa cosa o ottengo risultati diversi?
secondo me se esistono continue le derivate per $alpha<1/2$ allora è differenziabile sempre per $alpha<1/2$

[j18eos]

Alla prima domanda ti rispondo che esistono funzioni aventi tutte le derivate direzionali in punto ma ivi non differenziabile e.g.: [tex]$f=\begin{cases}\frac{x^2y}{x^2+y^2}\iff(x;y)\ne(0;0)\\0\iff(x;y)=(0;0)\end{cases}$[/tex].
Alla seconda domanda ti rispondo affermativamente a livello teorico, sulla tua supposizione dovresti fare i conti oppure utilizzare la definizione di differenziabilità!