Derivabilità e differenziabilità
Mi pare che il nocciolo del problema sia nel punto a. Le derivate parziali sono costanti se valutate lungo gli assi(*), non in tutto un intorno dell'origine. Ad esempio, quanto fa la derivata rispetto ad $x$ della tua $f$ (prima espressione) in $(0, 1)$? non esiste: difatti la funzione valutata lungo la retta di ordinata costante 1 ha una discontinuità in 0. Più formalmente:
$lim_{h\to0}(f(0+h, 1) - f(0,1))/h=lim_{h\to0}(1/h)$ che come sappiamo non esiste, da cui la non derivabilità in $(0,1)$.
Ora, io ho preso $(0,1)$ ma il discorso vale pari pari per ogni punto dell'asse $y$ diverso dall'origine. E chiaramente la stessa situazione la ritroviamo sull'asse $x$.
Adesso se non mi ricordo male, il criterio di differenziabilità che citavi dice: sia $g$ una funzione reale definita in un aperto $V$ derivabile e con le derivate continue in tutto l'aperto: allora $g$ è differenziabile in $V$.
Nel nostro caso la $f$ non verifica l'ipotesi in corsivo, ecco perché il teorema non si applica. Che ne dici?
P.S.: (*) In realtà ad essere costanti sono: la derivata rispetto ad $x$ valutata sull'asse delle $x$, e la derivata rispetto ad $y$ valutata sull'asse delle $y$.
$lim_{h\to0}(f(0+h, 1) - f(0,1))/h=lim_{h\to0}(1/h)$ che come sappiamo non esiste, da cui la non derivabilità in $(0,1)$.
Ora, io ho preso $(0,1)$ ma il discorso vale pari pari per ogni punto dell'asse $y$ diverso dall'origine. E chiaramente la stessa situazione la ritroviamo sull'asse $x$.
Adesso se non mi ricordo male, il criterio di differenziabilità che citavi dice: sia $g$ una funzione reale definita in un aperto $V$ derivabile e con le derivate continue in tutto l'aperto: allora $g$ è differenziabile in $V$.
Nel nostro caso la $f$ non verifica l'ipotesi in corsivo, ecco perché il teorema non si applica. Che ne dici?
P.S.: (*) In realtà ad essere costanti sono: la derivata rispetto ad $x$ valutata sull'asse delle $x$, e la derivata rispetto ad $y$ valutata sull'asse delle $y$.
Risposte
"Sergio":
Quello che tu dici corrisponde a quanto leggo su Wikipedia: se $f$ è di classe $C^1$ in un intorno di $x_0$, cioè se esistono tutte le derivate parziali di $f$ e queste sono funzioni continue, allora $f$ è differenziabile in $x_0$. Noto però che si parla di derivate parziali continue e, in una funzione $RR^2 to RR$, le derivate parziali sono quelle rispetto alla $x$ lungo l'asse $x$ e rispetto alla $y$ lungo l'asse $y$.
E' qui l'errore. Le derivate parziali di una funzione $RR^2\toRR$ sono due funzioni $RR^2\toRR$, o meglio di un sottoinsieme di $RR^2$ in $RR$. Secondo il tuo ragionamento, ha senso derivare parzialmente rispetto ad $x$ una funzione solo lungo l'asse $x$. Ma questo non è vero.
Cerco di scendere nel dettaglio: questa funzione è derivabile
1) rispetto ad $x$ in tutto il piano $RR^2$ meno l'asse delle $y$, con eccezione dell'origine;
2) rispetto ad $y$ in tutto il piano $RR^2$ meno l'asse delle $x$, con eccezione dell'origine.
(meno male che esiste il cut&paste!). Se poi mi dici che le derivate parziali, dove esistono, sono continue, siamo d'accordo: sono funzioni costanti, più continue di così... Ma il punto è che le derivate parziali non esistono in tutto un intorno dell'origine. Infatti ogni intorno dell'origine dovrebbe contenere qualche punto di entrambi gli assi, come è ovvio (dovrei dimostrarlo, non lo faccio per non perdere il filo). E quindi in ogni intorno dell'origine cade qualche punto problematico, per una derivata e per l'altra.
Ti rispondo al volo, più tardi commento più dettagliatamente:
dire che le derivate parziali esistono soltanto in un intorno dell'origine non implica che la funzione sia continua nell'origine.
Per avere questo, serve che le derivate siano limitate in un intorno dell'origine. Questo è sicuramente garantito dalla continuità delle derivate (di nuovo: la continuità in tutto un aperto, sennò significa poco), ma la sola esistenza mi pare che non sia sufficiente.
dire che le derivate parziali esistono soltanto in un intorno dell'origine non implica che la funzione sia continua nell'origine.
Per avere questo, serve che le derivate siano limitate in un intorno dell'origine. Questo è sicuramente garantito dalla continuità delle derivate (di nuovo: la continuità in tutto un aperto, sennò significa poco), ma la sola esistenza mi pare che non sia sufficiente.
scusa il ritardo...!
Su quest'ultimo punto delle derivate limitate spezzo una lancia in favore del tuo prof: non è una cosa poi importantissima, specialmente se paragonata al teorema sulle funzioni con derivate continue di cui sopra. (*)
Per quanto riguarda derivabilità e differenziabilità, si tratta di una questione delicata che a primo acchitto lascia sempre un po' spiazzati. Come "rule of thumb" ti dico che in genere, parlando di questi argomenti, ogni proprietà è significativa solo quando è vera almeno in un aperto. (**) Così, per la funzione che citavi prima, è vero che le derivate sono continue, ma non in un insieme abbastanza corposo per avere la differenziabilità.
A me è stato molto utile svolgere alcuni esercizi per toccare con mano alcuni tra i vari casi che si possono prospettare. Se ti interessa, ne propongo uno (tratto, come al solito, dal Rudin "principi di analisi matematica": è l'esercizio numero 14 del capitolo 9):
sia $f(x,y):={((x^3)/(x^2+y^2), (x,y)!=(0,0)), (0, (x,y)=(0,0)):}$.
Dimostrare che:
a) $f$ è derivabile in $RR^2$ e le derivate sono limitate (in particolare $f$ è continua);
b) $f$ è derivabile lungo tutte le direzioni in $(0,0)$;
c) nonostante tutto questo, $f$ non è differenziabile in $(0,0)$.
Questo, evidentemente, è un altro caso in cui il teorema sulla continuità delle derivate non trova applicazione. Fammi sapere se hai bisogno di qualche suggerimento!
P.S.:
(*)In effetti si tratta di un esercizio: se una funzione ha in tutto un aperto le derivate limitate, allora applicando un po' di volte il teorema del valore medio vediamo che in quell'aperto si tratta di una funzione Lipschitziana e in particolare continua. Questa è l'idea.
(**)L'unica eccezione che mi viene in mente in questo momento è l'implicazione (differenziabilità in un punto)$=>$(continuità nel punto stesso), che, come dicevi prima può essere vera in un punto isolato. Questo lo dico per chiarezza. Comunque sia parliamo di casi particolarmente patologici: un esempio di funzione differenziabile in un punto solo è questo: $f:RR\toRR$, $f(x):={(x^2, x\inQQ), (0, "altrove"):}$. Tieni anche presente che in casi come questo della differenziabilità sostanzialmente non te ne fai nulla: questa funzione, ad esempio, formalmente è differenziabile in un punto ma ciò non toglie che sia una schifezza senza regolarità.
Su quest'ultimo punto delle derivate limitate spezzo una lancia in favore del tuo prof: non è una cosa poi importantissima, specialmente se paragonata al teorema sulle funzioni con derivate continue di cui sopra. (*)
Per quanto riguarda derivabilità e differenziabilità, si tratta di una questione delicata che a primo acchitto lascia sempre un po' spiazzati. Come "rule of thumb" ti dico che in genere, parlando di questi argomenti, ogni proprietà è significativa solo quando è vera almeno in un aperto. (**) Così, per la funzione che citavi prima, è vero che le derivate sono continue, ma non in un insieme abbastanza corposo per avere la differenziabilità.
A me è stato molto utile svolgere alcuni esercizi per toccare con mano alcuni tra i vari casi che si possono prospettare. Se ti interessa, ne propongo uno (tratto, come al solito, dal Rudin "principi di analisi matematica": è l'esercizio numero 14 del capitolo 9):
sia $f(x,y):={((x^3)/(x^2+y^2), (x,y)!=(0,0)), (0, (x,y)=(0,0)):}$.
Dimostrare che:
a) $f$ è derivabile in $RR^2$ e le derivate sono limitate (in particolare $f$ è continua);
b) $f$ è derivabile lungo tutte le direzioni in $(0,0)$;
c) nonostante tutto questo, $f$ non è differenziabile in $(0,0)$.
Questo, evidentemente, è un altro caso in cui il teorema sulla continuità delle derivate non trova applicazione. Fammi sapere se hai bisogno di qualche suggerimento!
P.S.:
(*)In effetti si tratta di un esercizio: se una funzione ha in tutto un aperto le derivate limitate, allora applicando un po' di volte il teorema del valore medio vediamo che in quell'aperto si tratta di una funzione Lipschitziana e in particolare continua. Questa è l'idea.
(**)L'unica eccezione che mi viene in mente in questo momento è l'implicazione (differenziabilità in un punto)$=>$(continuità nel punto stesso), che, come dicevi prima può essere vera in un punto isolato. Questo lo dico per chiarezza. Comunque sia parliamo di casi particolarmente patologici: un esempio di funzione differenziabile in un punto solo è questo: $f:RR\toRR$, $f(x):={(x^2, x\inQQ), (0, "altrove"):}$. Tieni anche presente che in casi come questo della differenziabilità sostanzialmente non te ne fai nulla: questa funzione, ad esempio, formalmente è differenziabile in un punto ma ciò non toglie che sia una schifezza senza regolarità.
Mi dispiace, non volevo sortire questo effetto. Rileggendo il mio post vedo che sono stato molto poco chiaro, e inoltre ho tirato in ballo esempi complicati che confondono. Comunque non farti spaventare dal nome Rudin: quello che ho citato è uno degli esempi più comuni di funzioni che presentano configurazioni notevoli di derivabilità, differenziabilità e continuità in un punto. (Inoltre l'esercizio del testo includeva anche altri punti, più tecnici, che ho lasciato fuori).
Io proverei a risolverlo, è una buona applicazione delle definizioni di continuità, derivabilità, differenziabilità.
Ad esempio, per il primo punto (dim. che le derivate sono limitate), possiamo iniziare col calcolarle esplicitamente queste derivate, in ogni punto "tranquillo" (cioè escludendo l'origine che come puoi vedere subito è un punto particolare).
In realtà il primo punto è quello più fastidioso e anche quello meno importante (imho). Molto più significativo è invece il secondo punto. Io qui applicherei direttamente la definizione di derivata direzionale (come limite del rapporto incrementale). Non è difficile arrivare al risultato.
Infine, per il terzo punto si può procedere verificando direttamente la definizione, oppure (come del resto consiglia Rudin) verificare che non vale la regola "del gradiente": $(delf)/(delv)(x,y)=\langle nablaf(x,y), v \rangle$ (spero sia chiaro a cosa mi riferisco! E' la stessa formula che citavi nel primo post. A proposito: grazie per avermi fatto conoscere i simboli \langle e \rangle per il prodotto scalare! E' molto meglio $\langlev,w\rangle$ che $$.).
Vedi un po' tu. Se ti serve posso postare ulteriori suggerimenti, o anche tutta la soluzione. Ripeto: non è un esercizio banale, ma nemmeno ultradifficile, e aiuta molto ad impratichirsi su questi concetti.
Io proverei a risolverlo, è una buona applicazione delle definizioni di continuità, derivabilità, differenziabilità.
Ad esempio, per il primo punto (dim. che le derivate sono limitate), possiamo iniziare col calcolarle esplicitamente queste derivate, in ogni punto "tranquillo" (cioè escludendo l'origine che come puoi vedere subito è un punto particolare).
In realtà il primo punto è quello più fastidioso e anche quello meno importante (imho). Molto più significativo è invece il secondo punto. Io qui applicherei direttamente la definizione di derivata direzionale (come limite del rapporto incrementale). Non è difficile arrivare al risultato.
Infine, per il terzo punto si può procedere verificando direttamente la definizione, oppure (come del resto consiglia Rudin) verificare che non vale la regola "del gradiente": $(delf)/(delv)(x,y)=\langle nablaf(x,y), v \rangle$ (spero sia chiaro a cosa mi riferisco! E' la stessa formula che citavi nel primo post. A proposito: grazie per avermi fatto conoscere i simboli \langle e \rangle per il prodotto scalare! E' molto meglio $\langlev,w\rangle$ che $
Vedi un po' tu. Se ti serve posso postare ulteriori suggerimenti, o anche tutta la soluzione. Ripeto: non è un esercizio banale, ma nemmeno ultradifficile, e aiuta molto ad impratichirsi su questi concetti.
“… avevo cominciato, con un po' di ottimismo, a seguire cinque corsi…”
Sergio, puoi conservare il tuo ottimismo a patto di fare la scelta di sostenere solo gli esami e di rinunciare ad approfondire le materie, non c’è alternativa, in pratica devi mangiare quello che ti propinano e poi vomitarlo all’esame senza alcuna possibilità di assimilazione, cosa questa che richiede tempo. Questo è il frutto della riforma universitaria che trasformato i corsi annuali in trimestrali; chi sta tenendo il corso lo ha presente e perciò deve limitarsi solo all’illustrazione della materia, gli manca il tempo materiale per fare gli approfondimenti.
Vedi mio caro filosofo in che pasticci ti sei messo, e poi sei sempre incontentabile non ti bastano gli enunciati anche i teoremi vuoi.
Sergio, puoi conservare il tuo ottimismo a patto di fare la scelta di sostenere solo gli esami e di rinunciare ad approfondire le materie, non c’è alternativa, in pratica devi mangiare quello che ti propinano e poi vomitarlo all’esame senza alcuna possibilità di assimilazione, cosa questa che richiede tempo. Questo è il frutto della riforma universitaria che trasformato i corsi annuali in trimestrali; chi sta tenendo il corso lo ha presente e perciò deve limitarsi solo all’illustrazione della materia, gli manca il tempo materiale per fare gli approfondimenti.
Vedi mio caro filosofo in che pasticci ti sei messo, e poi sei sempre incontentabile non ti bastano gli enunciati anche i teoremi vuoi.
Piccolo OT
Quoto e straquoto: la cosa più mportante è assmilare, quindi si studia per conto proprio e col supporto di matematicamente.it e poi quando si è compreso si da l'esae: non credo abbia molto senso dare un esame senza avere realmente capito e opportunamente approfondito l'argomento.
"Sergio":
[
L'alternativa c'è: andare avanti con più calma
Quoto e straquoto: la cosa più mportante è assmilare, quindi si studia per conto proprio e col supporto di matematicamente.it e poi quando si è compreso si da l'esae: non credo abbia molto senso dare un esame senza avere realmente capito e opportunamente approfondito l'argomento.
Scusate se mi intrometto, ma la curiosità è parecchia. dissonance, potresti spiegarmi come verificare che non vale la regola del gradiente?
Scusate l'intrusione...sto cercando anche io di fare chiarezza riguardo ai legami tra continuità differenziabilità e derivabilità di funzioni in più variabili.
Da quanto leggo sui miei appunti mi pare di aver capito quanto segue:
DIFFERENZIABILE implica CONTINUA
CONTINUA equivale a ESISTENZA DELLA DERIVATA IN OGNI DIREZIONE (in particolare lungo gli assi coordinanti, ossia le derivate parziali)
Pertanto se per una funzione esistono tutte le derivate parziali in un punto significa che in quel punto tale funzione è continua lungo gli assi coordinanti ma non garantisce che lo sia in tutto l'intorno del punto stesso. Affinché ciò avvenga occorre che la funzione sia differenziabile, ossia che esista un applicazione lineare che prende il nome di differenziale....etc etc...
Ora mi chiedevo se, tralasciando il "non rigore matematico" con cui ho esposto gli argomenti, ho centrato la questione oppure no
Da quanto leggo sui miei appunti mi pare di aver capito quanto segue:
DIFFERENZIABILE implica CONTINUA
CONTINUA equivale a ESISTENZA DELLA DERIVATA IN OGNI DIREZIONE (in particolare lungo gli assi coordinanti, ossia le derivate parziali)
Pertanto se per una funzione esistono tutte le derivate parziali in un punto significa che in quel punto tale funzione è continua lungo gli assi coordinanti ma non garantisce che lo sia in tutto l'intorno del punto stesso. Affinché ciò avvenga occorre che la funzione sia differenziabile, ossia che esista un applicazione lineare che prende il nome di differenziale....etc etc...
Ora mi chiedevo se, tralasciando il "non rigore matematico" con cui ho esposto gli argomenti, ho centrato la questione oppure no
"Kolmogorov":
CONTINUA equivale a ESISTENZA DELLA DERIVATA IN OGNI DIREZIONE (in particolare lungo gli assi coordinanti, ossia le derivate parziali)
Questo non è corretto, direi che sono false entrambe le implicazioni. Una funzione può chiaramente essere continua in un punto senza essere derivabile in alcuna direzione (figuriamoci in tutte!), e inoltre può essere derivabile lungo tutte le direzioni ma non essere continua (esempio: http://www.batmath.it/matematica/0-appu ... _direz.pdf).
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