Derivabilità e differenziabilità

[emitrax]

Qualcuno puo aiutarmi a capire questi concetti per funzioni a variabili complesse e per funzioni a due variabili reali ?

Non ho mai avuto questi due concetti chiari.

Grazie.

[Kroldar]

Forse ho inteso dove vuoi arrivare, visto che hai citato le funzioni complesse.
Il concetto di derivabilità, che sicuramente ti è noto per funzioni reali di una variabile reale, si estende alle funzioni di due (o più) variabili con delle opportune modifiche, dovute all'aumentare delle variabili, giungendo alla definizione di differenziabilità.
Per funzioni complesse di una variabile complessa, apparentemente c'è una sola variabile, ovvero $z$... quindi si sarebbe portati ad adottare la definizione di derivabilità più semplice, quella che vale per funzioni reali di una variabile reale. Invece non è così, perché nel campo complesso la derivabilità di una funzione di una variabile complessa passa attraverso la rappresentazione del generico numero $z$ come $z=x+jy$. La funzione complessa di una variabile complessa $f(z)$ si trasforma così in una funzione complessa di due variabili reali $f(x,y)$.
A questo punto si stabilisce che la funzione complessa di una variabile complessa $f(z)$ è derivabile (o olomorfa) in un punto $z_0$ se e solo se la corrispondente funzione complessa di due variabili reali $f(x,y)$ è differenziabile nel punto $(x_0,y_0)$ ed inoltre è anche soddisfatta la condizione di Cauchy-Riemann che immagino tu conosca.

[emitrax]

Con tutta onestà concettualmente non ho mai capito la differenziabilità e/o il differenziale.

"Kroldar":
la funzione complessa di una variabile complessa $f(z)$ è derivabile (o olomorfa) in un punto $z_0$ se e solo se la corrispondente funzione complessa di due variabili reali $f(x,y)$ è differenziabile nel punto $(x_0,y_0)$ ed inoltre è anche soddisfatta la condizione di Cauchy-Riemann che immagino tu conosca.

Perfetto. Grazie!