Derivabilità e differenziabilità

[Regulus1]

Salve a tutti. Ho appena fatto un esercizio che mi ha fatto venire qualche dubbio e volevo confrontarmi con voi.
L'esercizio dice:

Determinare il dominio \(X\) della funzione gradiente di \(f\) e stabilire se \(f\) è differenziabile in \(X\):

\(f(x,y) = |x|\log(1+y)\)

Ora, calcolando le due derivate ho:

\(f_x(x,y) = \frac{x}{|x|}\log(1+y)\)

\(f_y(x,y) = \frac{|x|}{1+y}\)

Per cui, \(X = \left\{(x,y) : x \not= 0 \wedge y > -1\right\}\). Fin qui è giusto?

A questo punto, come procedo per la differenziabilità? Dico che, essendo le due funzioni derivate continue in \(X\), per il teorema del differenziale allora la funzione è differenziabile?

[mgiaff]

Il dominio della funzione non è il dominio delle sue derivate parziali...
La funzione esiste in $x=0$ e vale zero $\forall y > -1$ (prova a sostituire)

[Regulus1]

Lo so, ma la traccia richiede il "dominio della funzione gradiente di \(f\)". Non significa dire il dominio delle derivate parziali?

[mgiaff]

Scusami, ho letto male Allora, certamente, quello che hai scritto è giusto, come anche la questione sul teorema del differenziale totale! Da cosa derivavano i tuoi dubbi?

[Regulus1]

I miei dubbi derivano appunto dalla continuità delle funzioni derivate: sono continue perché combinazioni di funzioni continue? Mi sembrava "troppo facile".

Ma, se è così, tanto meglio, chiedo scusa per il disturbo!

[mgiaff]

Sì, puoi giustificare la continuità dicendo che sono composizione di funzioni continue (nessun disturbo)