Derivabilità e continuità
Avevo trovato questi tre esercizi molto interessanti. Purtroppo non sono riuscito a trovare una soluzione e speravo nel vostro aiuto...
1) sia $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione strettamente positiva, derivabile con derivata continua e tale che $f(0)=1$. Mostrare che esiste un punto $c\in[0,1]$ tale che $f'(c)=f(c)$ se è soddisfatta almeno una delle seguenti condizioni:
a) si ha $f(1)=e$;
b) si ha $f(1)>e$ e $f$ possiede qualche punto estremante in $(0,1)$
Mostrare che ciascuna delle due condizioni richieste nel punto b, singolarmente considerata, non è sufficiente a garantire la tesi.
2) Dire, giustificando, se è vera o falsa le seguenti affermazioni:
a) se $\{a_n\}$ è una successione di numeri reali divergente allora la successione $\{a_{n+1}-a_n\}$ non può tendere a 0
b) per ogni funzione reale $f$ tale che $f(x)=1+x+x^2+x^3+o(x^3)$ per $x\rightarrow 0$ si ha $log(f(x))=x+x^2/2+x^3+o(x^3)$
3) Sia $f(x)=x+sin(x)$ e detta $g$ la sua funzione inversa, calcolare $\lim_{y\rightarrow 0}{2g(y)-y}/y^2$. Ho provato a usare De l'Hopital ma usandolo una sola volta mi imbatto a un 0/0 e iterando trovo che il limite è la derivata seconda in 0 di $g(y)$ che non so come trovare
1) sia $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione strettamente positiva, derivabile con derivata continua e tale che $f(0)=1$. Mostrare che esiste un punto $c\in[0,1]$ tale che $f'(c)=f(c)$ se è soddisfatta almeno una delle seguenti condizioni:
a) si ha $f(1)=e$;
b) si ha $f(1)>e$ e $f$ possiede qualche punto estremante in $(0,1)$
Mostrare che ciascuna delle due condizioni richieste nel punto b, singolarmente considerata, non è sufficiente a garantire la tesi.
2) Dire, giustificando, se è vera o falsa le seguenti affermazioni:
a) se $\{a_n\}$ è una successione di numeri reali divergente allora la successione $\{a_{n+1}-a_n\}$ non può tendere a 0
b) per ogni funzione reale $f$ tale che $f(x)=1+x+x^2+x^3+o(x^3)$ per $x\rightarrow 0$ si ha $log(f(x))=x+x^2/2+x^3+o(x^3)$
3) Sia $f(x)=x+sin(x)$ e detta $g$ la sua funzione inversa, calcolare $\lim_{y\rightarrow 0}{2g(y)-y}/y^2$. Ho provato a usare De l'Hopital ma usandolo una sola volta mi imbatto a un 0/0 e iterando trovo che il limite è la derivata seconda in 0 di $g(y)$ che non so come trovare
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