Derivabilità e continuità
Salve,
Trovo questo forum tramite google e inizio subito col ringraziarvi se vorrete aiutarmi
Mi trovo a studiare analisi 1 per il mio corso universitario, però proveniendo non da un liceo molto spesso mi inchiodo in dubbi semplici come questo:
Ho studiato i punti di discontinutià, e abbiamo analizzato quelli in particolare di terza specie (i così detti eliminabili), poi abbiamo studiato recentemente il teorema che afferma: "se f è derivabile in x_0 allora è continua in x_0" e qui mi sorge il dubbio unendo le due cose.
Abbiamo dimostrato che se una funzione è derivabile sicuramente è continua, però non mi ci ritrovo con l'intuito, infatti se prendo una funzione con discontinuità di terza specie costruita ad hoc ad esempio una funzione sempre derivabile, che so y=x^2... in cui però metto la condizione che per il punto x=4 vale 0.
Bene ho un "puntino" di discontinuità, ora io dico: esiste limite del rapporto incrementale destro e sinistro, beh direi di sì, è una parabola, ho dimostrato che comunque sia una funzione derivabile è continua, è invece quaesta non è continua in x_0=4, eppure è derivabile.
Sono confuso nella mia intuizione stupida.
Trovo questo forum tramite google e inizio subito col ringraziarvi se vorrete aiutarmi
Mi trovo a studiare analisi 1 per il mio corso universitario, però proveniendo non da un liceo molto spesso mi inchiodo in dubbi semplici come questo:
Ho studiato i punti di discontinutià, e abbiamo analizzato quelli in particolare di terza specie (i così detti eliminabili), poi abbiamo studiato recentemente il teorema che afferma: "se f è derivabile in x_0 allora è continua in x_0" e qui mi sorge il dubbio unendo le due cose.
Abbiamo dimostrato che se una funzione è derivabile sicuramente è continua, però non mi ci ritrovo con l'intuito, infatti se prendo una funzione con discontinuità di terza specie costruita ad hoc ad esempio una funzione sempre derivabile, che so y=x^2... in cui però metto la condizione che per il punto x=4 vale 0.
Bene ho un "puntino" di discontinuità, ora io dico: esiste limite del rapporto incrementale destro e sinistro, beh direi di sì, è una parabola, ho dimostrato che comunque sia una funzione derivabile è continua, è invece quaesta non è continua in x_0=4, eppure è derivabile.
Sono confuso nella mia intuizione stupida.
Risposte
Scrivi esplicitamente il rapporto incrementale della funzione
\[
f(x)=\begin{cases}
x^2, & x\in\mathbb R\setminus \{4\} \\
0, & x=4.
\end{cases}
\]
\[
f(x)=\begin{cases}
x^2, & x\in\mathbb R\setminus \{4\} \\
0, & x=4.
\end{cases}
\]
Ci ho messo un poco a rispondere perché stavo guardando da altri thread come scrivere una formula in senso compiuto perché dall'anteprima non si capiva nulla
Son contento che mi hai chiesto di scriverlo perché è ciò che avevo fatto così veniamo anche al secondo dubbio scorrelato ma che mi è sorto cercando di svolgere quell'incrementale... ma andiamo con ordine:
Mi ero scritto:
$lim_((h)rarr(0)) (f(x_0+h)-f(x_0))/h -> lim_((h)rarr(0)) ((4+h)^2-(4)^2)/h$
e qui veniamo alla seconda domanda che dicevo, utile anche per altri esercizi, quando vado a svolgere (4+h)^2 devo considerare: $(4)^2+(h)^2+2(4*h)$ e in particolare $(4)^2$ ed $(h)^2$ come se fosse $f(4)$ e $f(h)$? Perché in tal caso $f(4)=0$ se invece non andasse trattato così avrei: $(4)^2+(h)^2+2(4*h)=0+8h+h^2$ (dico zero perché la funzione f(4)=0 come da definizione.
Altrimenti se non considerassi lo svolgomento del quadrato come somma di funzioni avrei:$(4)^2+(h)^2+2(4*h)=16+8h+h^2$
Credo sia meglio risolvere prima questo dubbio prima di continuare perché potrei avere due numeratori diversi a seconda del dubbio
Son contento che mi hai chiesto di scriverlo perché è ciò che avevo fatto così veniamo anche al secondo dubbio scorrelato ma che mi è sorto cercando di svolgere quell'incrementale... ma andiamo con ordine:
Mi ero scritto:
$lim_((h)rarr(0)) (f(x_0+h)-f(x_0))/h -> lim_((h)rarr(0)) ((4+h)^2-(4)^2)/h$
e qui veniamo alla seconda domanda che dicevo, utile anche per altri esercizi, quando vado a svolgere (4+h)^2 devo considerare: $(4)^2+(h)^2+2(4*h)$ e in particolare $(4)^2$ ed $(h)^2$ come se fosse $f(4)$ e $f(h)$? Perché in tal caso $f(4)=0$ se invece non andasse trattato così avrei: $(4)^2+(h)^2+2(4*h)=0+8h+h^2$ (dico zero perché la funzione f(4)=0 come da definizione.
Altrimenti se non considerassi lo svolgomento del quadrato come somma di funzioni avrei:$(4)^2+(h)^2+2(4*h)=16+8h+h^2$
Credo sia meglio risolvere prima questo dubbio prima di continuare perché potrei avere due numeratori diversi a seconda del dubbio
E no! Intanto non capisco perché hai scritto \((x, y)\to (0,0)\). In ogni caso il rapporto incrementale corretto è:
\[
\lim_{h\to 0}\frac{ f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{(4+h)^2-0}{h}\ \text{questo limite non esiste.}
\]
\[
\lim_{h\to 0}\frac{ f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{(4+h)^2-0}{h}\ \text{questo limite non esiste.}
\]
Perché non sapendo come scrivere questo codice ho copiato da un altro thread (il primo che ho trovato con i limiti), però nel primo ho cambiato, nel secondo no, correggo è una svista da copiaincolla 
Due ultime domande per vedere se ho afferrato:
1 )Espandendo quel limite (che hai scritto tu) correttamente sarebbe quindi: $lim_((h)rarr(0)) (16+h^2+8*h-0)/h$ è giusto?
2) Quindi quando vado a sviluppare quel quadrato non posso vedere il quadrato del primo termine come una funzione? Essendo x^2 pensavo stupidamente poterlo vedere come f(x).
in partica sommavo più funzioni
tuttavia non capisco il perché non si faccia così
Grazie per questi aiuti
Due ultime domande per vedere se ho afferrato:
1 )Espandendo quel limite (che hai scritto tu) correttamente sarebbe quindi: $lim_((h)rarr(0)) (16+h^2+8*h-0)/h$ è giusto?
2) Quindi quando vado a sviluppare quel quadrato non posso vedere il quadrato del primo termine come una funzione? Essendo x^2 pensavo stupidamente poterlo vedere come f(x).
in partica sommavo più funzioni
tuttavia non capisco il perché non si faccia così Grazie per questi aiuti
"giarri":Insomma stai dicendo che non sai calcolare \((4+h)^2\)? Non hai bisogno di una conferma. Sii sicuro di te.
1 )Espandendo quel limite (che hai scritto tu) correttamente sarebbe quindi: $lim_((h)rarr(0)) (16+h^2+8*h-0)/h$ è giusto?
2) Quindi quando vado a sviluppare quel quadrato non posso vedere il quadrato del primo termine come una funzione? Essendo x^2 pensavo stupidamente poterlo vedere come f(x).
in partica sommavo più funzioni
Il tuo dubbio è a livello di limiti e non di derivate. Potresti calcolare il limite seguente, per favore?
\[
\lim_{x\to 0} f(x),\qquad \text{dove }f(x)=\begin{cases} 0, & x\ne 0 \\ 1, & x=0.\end{cases}\]
Scrivi qui tutti i passaggi.
"dissonance":
Insomma stai dicendo che non sai calcolare \((4+h)^2\)? Non hai bisogno di una conferma. Sii sicuro di te.
In realtà mi sono espresso male. Stavo chiedendo perché se ho una funzione $f(x)=x^2$ applicata in $x=(m+4)$ quindi: $f(m+4)$, essendo la funzione $f(m+4)=(m+4)^2$ e svolgimento del binomio: $(x+m)^2=[x^2]+m^2+2mx$, non potessi vedere il termine x^2 (che ho messo tra parentesi quadre) come una f(x) con f(x)=x^2. Scomporre la funzione in sostanza.
Era questo che volevo dire nello svolgimento al numeratore
"dissonance":
Il tuo dubbio è a livello di limiti e non di derivate.
Non c'entrava con la domanda sulle funzioni ma hai ragione, a scuola ne feci pochissimi in classe, ed ora son stati spiegati in una settimana dal professore e ora è già alle derivate, non capisco come apprenderli in poco tempo, vedo che tutti sanno già farli giungendo da uno scientifico ma nessuno che sa spiegarmi come si facciano. Mi dicono: "si vedono" e io non vedo nulla. Anzi se qualcuno avesse dritte le accolgo volentieri, amo analisi ho scoperto, ma sono una capra!
"dissonance":
Potresti calcolare il limite seguente, per favore?
Così su due piedi direi limx→0f(x)=limx→0 0=0
Ti ringrazio per aiutarmi!
Esatto. Il punto teorico è questo teorema:
Teorema. Se \(I\) è un intervallo, \(x_0\in I\) e \(f\colon I\to \mathbb R\) e \(g\colon I\to \mathbb R\) sono due funzioni con la proprietà che \(f(x)=g(x)\) per ogni \(x\ne x_0\), allora
\[
\lim_{x\to x_0} f(x)=\lim_{x\to x_0} g(x), \]
nel senso che uno dei due limiti esiste se e solo se esiste l'altro, e in tal caso, essi sono uguali.
All'atto pratico, questo teorema significa che se devi calcolare \(\lim_{x\to x_0 } f(x)\) e conosci l'espressione analitica di \(f\) in un intervallo privato di un punto, come negli esempi precedenti, è tale espressione che devi considerare al momento del calcolo. Quindi, se
\[
f(x)=\begin{cases} x^2,& x\ne 4\\ 0, & x=0,\end{cases}
\]
allora devi ragionare sull'espressione
\[
\frac{f(4+h)-f(4)}{h}\qquad h\ne 0, \]
perché il limite è per \(h\to 0\). Tale espressione è uguale a
\[
\frac{(4+h)^2}{h},\qquad h\ne 0.\]
A questo punto, non c'è più da ragionare, non c'è più da pensare
A questo punto devi solo tacere e calcolare.
Teorema. Se \(I\) è un intervallo, \(x_0\in I\) e \(f\colon I\to \mathbb R\) e \(g\colon I\to \mathbb R\) sono due funzioni con la proprietà che \(f(x)=g(x)\) per ogni \(x\ne x_0\), allora
\[
\lim_{x\to x_0} f(x)=\lim_{x\to x_0} g(x), \]
nel senso che uno dei due limiti esiste se e solo se esiste l'altro, e in tal caso, essi sono uguali.
All'atto pratico, questo teorema significa che se devi calcolare \(\lim_{x\to x_0 } f(x)\) e conosci l'espressione analitica di \(f\) in un intervallo privato di un punto, come negli esempi precedenti, è tale espressione che devi considerare al momento del calcolo. Quindi, se
\[
f(x)=\begin{cases} x^2,& x\ne 4\\ 0, & x=0,\end{cases}
\]
allora devi ragionare sull'espressione
\[
\frac{f(4+h)-f(4)}{h}\qquad h\ne 0, \]
perché il limite è per \(h\to 0\). Tale espressione è uguale a
\[
\frac{(4+h)^2}{h},\qquad h\ne 0.\]
A questo punto, non c'è più da ragionare, non c'è più da pensare
[...] Stavo chiedendo perché se ho una funzione f(x)=x2 applicata in x=(m+4), essendo lo svolgimento del binomio: [...]
A questo punto devi solo tacere e calcolare.
Ma mi sa che sto continuando a non riuscire a spiegarmi perdonami davvero!
Ho capito quello che mi hai detto sul limite e lo condivido, uno fa +inf e l'altro -inf quindi non esiste poiche destroe sinistro non coincidono, inotre valuto la funzione tramite la definizione analitica. Nel senso, il problema me lo avevi già risolto nella 2 risposta grazie alla tua chiarezza
Ti ringrazio anche per questa spiegazione ancora più formale, che aiuta a riordinare le idee..
Io volevo chiederti un'altra cosa del tutto diversa, tabula rasa, come fosse un altro post dove parlo di funzioni in generale, nessun limite di mezzo:
perdonami davvero!Ho capito quello che mi hai detto sul limite e lo condivido, uno fa +inf e l'altro -inf quindi non esiste poiche destroe sinistro non coincidono, inotre valuto la funzione tramite la definizione analitica. Nel senso, il problema me lo avevi già risolto nella 2 risposta grazie alla tua chiarezza
Ti ringrazio anche per questa spiegazione ancora più formale, che aiuta a riordinare le idee..
Io volevo chiederti un'altra cosa del tutto diversa, tabula rasa, come fosse un altro post dove parlo di funzioni in generale, nessun limite di mezzo:
In realtà mi sono espresso male. Stavo chiedendo perché se ho una funzione $f(x)=x^2$ applicata in $x=(m+4)$ quindi: $f(m+4)$, essendo la funzione $f(m+4)=(m+4)^2$ e svolgimento del binomio: $(x+m)^2=[x^2]+m^2+2mx$, non potessi vedere il termine x^2 (che ho messo tra parentesi quadre) come una f(x) con f(x)=x^2. Scomporre la funzione in sostanza.
Era questo che volevo dire nello svolgimento al numeratore
Mmmmhhhhh non è una domanda ben posta, non penso sia una buona idea continuare la discussione in questa direzione. Cambia esercizio e rifletti su qualcos'altro, secondo me.
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