Derivabilità, differenziabilità e gradiente

[cechuz]

volevo capire meglio la relazione che sussiste tra derivata direzionale, derivata parziale, gradiente e differenziabilità.

Se una funzione ammette derivata direzionale in un punto $(x_0,y_0)$ per ogni direzione $v in R^n$ allora si dice che la funzione è derivabile direzionalmente in quel punto. La derivata parziale altro non è che una particolare derivata direzionale che ha come direzione i vettori della base canonica. Ora il gradiente è il vettore che ha per componenti le derivate parziali della funzione calcolate rispetto a ciascuna variabile, quindi se una funzione è derivabile direzionalmente in un punto allora ammette SEMPRE derivate parziali in quel punto ? O in altri termini, se una funzione è derivabile in un punto allora ESISTE SEMPRE il gradiente della funzione calcolato in quel punto? (non sto dicendo che la funzione sia differenziabile in quel punto )
Se poi la funzione è derivabile in quel punto (esistono le derivate direzionali nel punto in questione lungo ogni direzione $v in R^n$ ) ed è anche continua, allora ivi è differenziabile. Pertanto se una funzione è differenziabile AMMETTE SEMPRE gradiente (perchè derivabile lungo tutte le direzioni) ma l'esistenza del gradiente non ci assicura A PRIORI che una funzione sia differenziabile perchè potrebbe non essere continua in quel punto. Esatto?
Quindi se una funzione è differenziabile in un punto ( continua e derivabile in quel punto) allora si può ricorrere al teorema del gradiente che esprime la relazione tra differenziabilità e derivabilità, ossia $ (partial f)/(partial v)(x_0,y_0)=$ ma questo non si può applicare se viene meno la differenziabilità.

quindi se nella formula del limite del gradiente, in questo caso in $R^2$ : $ lim_(h -> 0)(f(x+h)-f(x)-f_(x_1)(x)h_1-f_(x_2)(x)h_2)/(||h||)=0 $ con $ x=(x_1,x_2) $ e $ h=(h_1,h_2) $ invece delle derivate parziali io scrivo il prodotto scalare $ $ è esattamente la stessa cosa?

[mashi1994]

"cechuz":Se una funzione ammette derivata direzionale in un punto $(x0,y0)$ per ogni direzione $v∈Rn$ allora si dice che la funzione è derivabile direzionalmente in quel punto. La derivata parziale altro non è che una particolare derivata direzionale che ha come direzione i vettori della base canonica.

Fino a qui è giusto

"cechuz":Ora il gradiente è il vettore che ha per componenti le derivate parziali della funzione calcolate rispetto a ciascuna variabile, quindi se una funzione è derivabile direzionalmente in un punto allora ammette SEMPRE derivate parziali in quel punto ?

Qui ti sei risposto da solo prima, se mi dice che per quella funzione esiste la derivata in ogni direzione in quel punto, allora esiste anche per le direzioni di derivazione che rappresentano l'asse x e l'asse y, quindi la risposta è si.

"cechuz":O in altri termini, se una funzione è derivabile in un punto allora ESISTE SEMPRE il gradiente della funzione calcolato in quel punto?

Dire che una funzione è derivabile in un punto lungo le direzioni che rappresentano l'asse x o l'asse y, dire che per una funzione esistono le derivate parziali in un punto, dire che per una funzione esiste il vettore gradiente in quel punto è la stessa cosa.
Operativamente verificare che una funzione è derivabile in un punto, significa che esistono finiti in $(x0,y0)$ i limiti:

$f_x(x_0,y_0)=lim_(h->0)(f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0))/h$

$f_y(x_0,y_0)=lim_(k->0)(f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0))/k$

e il valore a cui quelle formule tendono sono proprio le componenti del gradiente.

"cechuz":Se poi la funzione è derivabile in quel punto (esistono le derivate direzionali nel punto in questione lungo ogni direzione v∈Rn ) ed è anche continua, allora ivi è differenziabile

attenzione qui ti chiedo di verificare perchè dire che la funzione è derivabile significa che esistono le derivate parziali non necessariamente le derivate in ogni direzione. Comunque per la condizione sufficiente di differenziabilità f è differenziabile in $(x_0, y_0)$ se esistono in un intorno di $(x_0, y_0)$ e siano continue in $(x_0, y_0)$ le derivate parziali di f.

"cechuz":Pertanto se una funzione è differenziabile AMMETTE SEMPRE gradiente (perchè derivabile lungo tutte le direzioni) ma l'esistenza del gradiente non ci assicura A PRIORI che una funzione sia differenziabile perchè potrebbe non essere continua in quel punto. Esatto?

giusto.

"cechuz":Quindi se una funzione è differenziabile.....se viene meno la differenziabilità

anche questo per me va bene, infatti può venire utile talvolta verificare che la formula del gradiente non è una identità per dire che f non è differenziabile in $(x_0, y_0)$

cioè invece di:
$ lim_(h -> 0)(f(x+h)-f(x)-f_(x_1)(x)h_1-f_(x_2)(x)h_2)/(||h||)=0 $
mettere questo?:
$ lim_(h -> 0)(f(x+h)-f(x)-())/(||h||)=0$

beh viene utilizzato nella definizione generale di differenziabilità nel mio libro quindi per me è giusto.

[anto_zoolander]

Solo una piccola osservazione

"cechuz":Ora il gradiente è il vettore che ha per componenti le derivate parziali

si, ma no.

Considera una funzione $f:V->RR$ con $(V,<<,>>)$ un $RR$ spazio euclideo.
Se ti senti più a tuo agio sostituisci $V=RR^n$ e $<<,>>$ il prodotto scalare standard

il gradiente $nablaf_(x_0)$ è definito come quel vettore per cui ogni derivata direzionale si possa scrivere come $varphi(v)=<>$ che è la cosa sempre usata sostanzialmente, ma in generale non è il vettore delle derivate parziali.

se $f$ è differenziabile in $x_0$ allora esisterà un funzionale lineare continuo $varphi:V->RR$ per cui

$1*$ $f(x_0+h)-f(x_0)=varphi(h)+o(norm(h))$

per il lemma di Riesz esiste un unico $lambda in V$ per cui

$2*$ $varphi(v)=<>$ per ogni $v in V$

in particolare puoi mostrare che $lim_(t->0)(f(x_0+tv)-f(x_0))/t=<>$

quindi $lambda:=nablaf_(x_0)$ è un gradiente.
Quello che si usa sempre si ottiene considerando che se $B={v_1,..,v_n}$ è una base ortonormale allora

$nablaf_(x_0)=sum_(k=1)^(n)partial_(v_k)f(x_0)v_k$

[mashi1994]

ciao,

scusa ho dei dubbi dalle vostre affermazioni:
dubbio uno:

se f è differenziabile in A:
-f è continua in A
-f è derivabile in A
- tutte le derivate direzionali risultano così combinazione lineare delle derivate parziali -> f ammette derivate direzionali in A lungo ogni direzione

mentre,
-f è continua in A
-f è derivabile in A
-f non è differenziabile
- non posso dire nulla sulle derivate direzionali lungo ogni direzione a priori, dovrei calcolarle mediante definizione.
E' giusto?

dubbio due:
scusami ma quando scrivi:

$ nablaf_(x_0)=sum_(k=1)^(n)partial_(v_k)f(x_0)v_k $

non dovrebbe essere:

$ nablaf_(x_0)v=sum_(k=1)^(n)partial_(v_k)f(x_0)v_k $ con $v=(v_1,v_2.....,v_k)$?
perchè se con $partial_(v_k)f(x_0)$ intendi $(delf(x_0))/(delx_k)$
allora per me:
$ D_vf(x_0)=sum_(k=1)^(n)partial_(v_k)f(x_0)v_k $

[gugo82]

@cechuz: La situazione è questa:
\[
\begin{split}
\text{Differenziabilità in } (x_0,y_0) \quad &\left[ \begin{split} &\Rightarrow \\ &\not\Leftarrow \end{split} \right] \quad \text{Derivabilità in } (x_0,y_0) \text{ lungo tutte le direzioni} \quad \left[ \begin{split} &\Rightarrow \\ &\not\Leftarrow \end{split} \right] \quad \text{Derivabilità (esistenza delle derivate parziali) in } (x_0,y_0) \\
&\text{e} \\
\text{Differenziabilità in } (x_0,y_0) \quad &\left[ \begin{split} &\Rightarrow \\ &\not\Leftarrow \end{split} \right] \quad \text{Continuità in } (x_0,y_0)
\end{split}
\]
cosicché le condizioni che si trovano scendendo lungo la catena di implicazioni sono tutte più deboli delle precedenti; ma anche:
\[
\begin{split}
\text{Continuità e derivabilità (esistenza delle derivate parziali) in } (x_0,y_0) \quad &\not\Rightarrow\quad \text{Differenziabilità in } (x_0,y_0) \\
&\text{e} \\
\text{Continuità e derivabilità lungo tutte le direzioni in } (x_0,y_0) \quad &\not\Rightarrow\quad \text{Differenziabilità in } (x_0,y_0) \; .
\end{split}
\]
In particolare (a parte la generalizzazione proposta da anto), il gradiente $nabla f(x_0,y_0)$ è il vettore formato dalle due derivate parziali ed esiste quando la funzione $f$ è derivabile in $(x_0,y_0)$ o quando soddisfa le due condizioni più forti (cioè, derivabilità lungo ogni direzione o differenziabilità in $(x_0,y_0)$).

La formula del gradiente:
\[
\frac{\partial f}{\partial \nu} (x_0,y_0) = \langle \nabla f(x_0,y_0), \nu \rangle
\]
si può usare solo quando le derivate direzionali si possono esprimere linearmente rispetto alle derivate parziali, e ciò accade quando la $f$ è differenziabile in $(x_0,y_0)$.
Per vedere che la formula del gradiente non vale nella sola ipotesi che $f$ sia derivabile rispetto ad ogni direzione in $(x_0,y_0)$ puoi analizzarti l'esempio classico proposto qui.

[cechuz]

"anto_zoolander":

[highlight]il gradiente $nablaf_(x_0)$ è definito come quel vettore per cui ogni derivata direzionale si possa scrivere come $varphi(v)=<>$ che è la cosa sempre usata sostanzialmente, ma in generale non è il vettore delle derivate parziali.[/highlight]

se $f$ è differenziabile in $x_0$ allora esisterà un funzionale lineare continuo $varphi:V->RR$ per cui

$1*$ $f(x_0+h)-f(x_0)=varphi(h)+o(norm(h))$

per il lemma di Riesz esiste un unico $lambda in V$ per cui

$2*$ $varphi(v)=<>$ per ogni $v in V$

in particolare puoi mostrare che $lim_(t->0)(f(x_0+tv)-f(x_0))/t=<>$

quindi $lambda:=nablaf_(x_0)$ è un gradiente.
Quello che si usa sempre si ottiene considerando che se $B={v_1,..,v_n}$ è una base ortonormale allora

$nablaf_(x_0)=sum_(k=1)^(n)partial_(v_k)f(x_0)v_k$

sei stato molto chiaro, la parte evidenziata mi è tornata molto utile!

grazie anche a @gugo82 e @mashi1994!

[Vidocq]

Solo una precisazione per cechuz

La sola esistenza delle derivate parziali in $(x_{0},y_{0})$ non implica la continuità della funzione nel punto.
Lo specchietto di gugo82 devi leggerlo sempre a partire dalla differenziabilità la quale implica sia la derivabilita' sia a continuità nel punto.

[gugo82]

@Vidocq: Effettivamente l'ho scritto "male"... Ora vedo se riesco a metterlo a posto.
Thanks a lot.