Derivabilità di una funzione, partendo da una sua proprietà

[m92c]

In uno dei vecchi compiti del mio professore di Analisi I ho trovato un esercizio di cui mi riesce difficile la comprensione. Dice:

Sia f una funzione definita in R che gode delle seguenti proprietà:
\( |f(x)| \leq |x|^{\sqrt{8}} |log|x||, \forall x \in R \setminus \lbrace 0 \rbrace \)
Dimostrare che f è derivabile in x=0 e calcolare f'(0)

Io ho pensato che la funzione al più può essere uguale a \(|x|^{\sqrt{8}} |log|x||\). Quindi per capire se è derivabile o meno in x=0 proseguo con i limiti del rapporto incrementale da destra e da sinistra.
Potrebbe andare bene come procedimento?

Grazie.

[Seneca1]

Prima di tutto $f(0) = 0$ (basta applicare il teorema dei due carabinieri).

Se dividi per $|x|$ trovi:

$|(f(x))/x| = |(f(x) - f(0))/(x - 0)| \le |log|x|| * |x|^(sqrt(8) -1)$ , $\forall x \in RR \setminus \{0\}$.

Quindi...

[m92c]

Quindi, passando al limite, per x che tende a zero sia da destra che da sinistra il limite fa zero ed f risulta devirabile con \(f'(0) = 0 \). Giusto?

[Plepp]

"Seneca":Prima di tutto $f(0) = 0$ (basta applicare il teorema dei due carabinieri).

Mi sfugge qualcosa forse...Il teorema del confronto ci permette di dire che
\[\exists \lim_{x\to 0} f(x)=0\]
Ma chi ci dice che $f(0)=\lim_{x\to 0} f(x)=0$ (anche se, intuitivamente, è così), ovvero che $f$ è continua in $0$? Io non lo vedo tra le ipotesi

@m92c: dopo che Seneca mi avrà fatto notare ciò che mi sfugge, mostrando che effettivamente che $f(0)=0$, puoi usare un'altra volta il teorema del confronto, e il gioco è fatto

[Seneca1]

In effetti bisogna richiedere anche che $f$ sia continua in $x=0$ (anche perché se fosse $lim_(x ->0) f(x) \ne f(0)$ la consegna dell'esercizio non avrebbe senso). Scusate la svista.