Derivabilità di una funzione in un punto

[Bea.115]

Ciao a tutti
Ho un dubbio stupido, e vorrei da voi una conferma.
Se trovo un esercizio del genere:
Dire se la seguente funzione è derivabile in x=2

[tex]f(x)=\left\{\begin{matrix}
xcos(\frac{1}{x})+2 & x\neq0\\
2 & x=0
\end{matrix}\right.[/tex]

Se utilizzo il limite del rapporto incrementale per [tex]x_{0}=0[/tex]

[size=150][tex]\lim_{h\to0}\frac{(x_{0}+h)cos(\frac{1}{x_{0}+h})+2-x_{0}cos(\frac{1}{x_{0}})-2}{h}[/tex][/size]

Affinché la funzione sia derivabile in zero, questo limite deve tendere a 0?

Grazie

[dissonance]

"Bea.": Dire se la seguente funzione è derivabile in $x=2$

per $x_0=0$...

Qualcosa non va, mi pare.

[Bea.115]

*Dire se la seguente funzione è derivabile in x=0

[Frink1]

Allora c'è qualche problema. Il limite che hai scritto è sbagliato, perché in $x_0$ la tua funzione vale $2$, non $x_0 \cos(\frac{1}{x_0})+2$. Il primo pezzo invece va bene, perché sei in un intorno del punto $x_0=0$ dove la tua funzione è definita per mezzo del coseno e altre amenità.

Il limite però non deve annullarsi: requisito per la derivabilità in un punto è che il limite del rapporto incrementale sia finito. Il valore finito a cui tende il limite è il valore della derivata nel punto.

[Bea.115]

Ok grazie mille