Derivabilità di una funzione
[tex]\left\{\begin{matrix}
x^2+
1\\
e^{x^2}\end{matrix}\right.[/tex]
La prima definizione si ha per [tex]x>=0[/tex] l'altra se [tex]x<0[/tex]
Mi si chiede di studiare la derivabilità, ora mi sorge un dubbio, è un semplice esercizio sulle derivate?
Perchè di solito questi esercizi spuntano quando ci sono problemi di derivabilità è bisogn ausare la definizione, ma qui, non mi sembra che ci siano problemi di derivabilità.
O no?
x^2+
1\\
e^{x^2}\end{matrix}\right.[/tex]
La prima definizione si ha per [tex]x>=0[/tex] l'altra se [tex]x<0[/tex]
Mi si chiede di studiare la derivabilità, ora mi sorge un dubbio, è un semplice esercizio sulle derivate?
Perchè di solito questi esercizi spuntano quando ci sono problemi di derivabilità è bisogn ausare la definizione, ma qui, non mi sembra che ci siano problemi di derivabilità.
O no?
Risposte
"Darèios89":
[tex]\left\{\begin{matrix}
x^2+
1\\
e^{x^2}\end{matrix}\right.[/tex]
La prima definizione si ha per [tex]x>=0[/tex] l'altra se [tex]x<0[/tex]
Mi si chiede di studiare la derivabilità, ora mi sorge un dubbio, è un semplice esercizio sulle derivate?
Perchè di solito questi esercizi spuntano quando ci sono problemi di derivabilità è bisogn ausare la definizione, ma qui, non mi sembra che ci siano problemi di derivabilità.
O no?
Se ti chiedono la derivabilità di quella funzione nello $0$, è logico che devi verificare che sia continua in $0$ e che
$lim_( x -> 0^- ) f'(x) = lim_( x -> 0^+ ) f'(x)$
Due domande:
Allora il problema è solo nello 0?
Cioè rispondo la funzione è sempre derivabile, potrebbe non esserlo nello 0 e verifico la continuità.
Secondo:
La legge dice che per x>=0 è definitva in un modo, quindi perchè devo verificare la continuità nello 0?
Se è definita nello zero per la legge non implica che sia continua? Altrimenti non può essere definita se non è continua, perchè devo verificarlo?
Allora il problema è solo nello 0?
Cioè rispondo la funzione è sempre derivabile, potrebbe non esserlo nello 0 e verifico la continuità.
Secondo:
La legge dice che per x>=0 è definitva in un modo, quindi perchè devo verificare la continuità nello 0?
Se è definita nello zero per la legge non implica che sia continua? Altrimenti non può essere definita se non è continua, perchè devo verificarlo?
ti viene chiesta la derivabilita' solamente quindi verificare i limiti destro e sinistro della derivata della funzione.E' naturale che se i limiti coincidono allora e' derivabile
quindi continua.La continuita' non assicura comunque la derivabilita'
quindi continua.La continuita' non assicura comunque la derivabilita'
"legendre":NO.
ti viene chiesta la derivabilita' solamente quindi verificare i limiti destro e sinistro della derivata della funzione.
Su questo punto io sembrerò ripetitivo ma è un mio pallino, perché si tratta di un errore purtroppo MOLTO diffuso e che io trovo piuttosto brutto. La derivabilità è una cosa, l'essere $f'$ prolungabile per continuità è UN'ALTRA e in genere sono cose diverse. Esempio:
sia $f(x)={(0, x!=0), (1, x=0):}$. Qui $f'(x)=0$ per ogni $x!=0$, quindi $lim_{x\to0^{-}}f'(x)=\lim_{x \to 0^{+}}f'(x)=0$ ma assolutamente $f$ NON E' DERIVABILE nello $0$.
Per verificare la derivabilità di una funzione in un punto, cosa che si rivela necessaria soprattutto (ma non solo) per funzioni definite a pezzi come quella proposta da Dareios, l'unico modo veramente sicuro è controllare a mano la definizione: formare cioè i rapporti incrementali e calcolarne il limite. Se questo limite esiste ed è finito, allora la funzione è derivabile nel punto in questione, altrimenti no.
C'è poi un teorema, che alcuni chiamano Teorema di Darboux e che mette in relazione, con opportune ipotesi, l'essere $f'$ prolungabile per continuità e l'essere $f$ derivabile. Spesso questo teorema è applicabile, ma non sempre, e non va assolutamente confuso con la definizione di "funzione derivabile in un punto".
Vedere:
https://www.matematicamente.it/forum/dir ... 53021.html
e, per l'enunciato e la dimostrazione del teorema di Darboux
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#366811
"legendre":
E' naturale che se i limiti coincidono allora e' derivabile
quindi continua.
Bada che non è vero ciò che hai scritto.
Giusto!Riconosco l'errore,la condizione piu' giusta e' fare i rapporti incrementale e vedere il limite.Forse volevo scrivere se i limiti della funzione coincidono allora e' continua per rispondere al topic sopra sulla continuita'.
Meno male che vi siete accorti.L'ora e' tarda e la fatica e' tanta
Meno male che vi siete accorti.L'ora e' tarda e la fatica e' tanta
Contiuo a non capire, se è definita per x>=0 vuol dire che è continua,altrimenti sarebbe solo definita per x>0, ma se c'è lo 0 io penso che deve essere continua per forza.
Non capisco quali problemi ci sono nella derivabilità, la funzione ha due leggi per me entrambe derivabili in R.
Non vedo il problema, dato che la prima legge è per [tex]x>=0[/tex] l'latra per [tex]x<0[/tex], quindi è definita in tutto R.
P.S. io sapevo che unaf unzione è continua dov'è definita, quindi qui che problemi ho se praticamente è definita in tutto R?
Non capisco quali problemi ci sono nella derivabilità, la funzione ha due leggi per me entrambe derivabili in R.
Non vedo il problema, dato che la prima legge è per [tex]x>=0[/tex] l'latra per [tex]x<0[/tex], quindi è definita in tutto R.
P.S. io sapevo che unaf unzione è continua dov'è definita, quindi qui che problemi ho se praticamente è definita in tutto R?
"Darèios89":
P.S. io sapevo che unaf unzione è continua dov'è definita, quindi qui che problemi ho se praticamente è definita in tutto R?
No! Rivediti la definizione di continuità che è un po' più complessa.
Si una funzione è continua quando il suo limite coincide esattamente con il valore che laf unzione assume nel punto.
Ma pensavo fosse scontato che se una funzione è definita in un intervallo deve essere continua.
Avrebbe senso a questo punto dovere verificare lìche la funzione che ho postato sia continua in x=0.
Domanda, ho due leggi di definizione, su quale devo operare per verificare la continuità?
Forse la prima per 0 destro e la seconda per un intorno sinistro di 0.
P.S...ma allora, perchè, mi viene il dubbio che potrebbe non essere continua in 0 solamente? Potrei dubitare della sua continuità anche per altri valori, se è definita per x>=0 e per x<0, io la verifico per x=0 ma per tutti gli altri valori come faccio a dire che è derivabile?
Ma pensavo fosse scontato che se una funzione è definita in un intervallo deve essere continua.
Avrebbe senso a questo punto dovere verificare lìche la funzione che ho postato sia continua in x=0.
Domanda, ho due leggi di definizione, su quale devo operare per verificare la continuità?
Forse la prima per 0 destro e la seconda per un intorno sinistro di 0.
P.S...ma allora, perchè, mi viene il dubbio che potrebbe non essere continua in 0 solamente? Potrei dubitare della sua continuità anche per altri valori, se è definita per x>=0 e per x<0, io la verifico per x=0 ma per tutti gli altri valori come faccio a dire che è derivabile?
"Darèios89":Bravo! Questi sono dubbi che è normale vengano e purtroppo è colpa della matematica a macchinetta, formato scuola superiore, se non si sa rispondere.
P.S...ma allora, perchè, mi viene il dubbio che potrebbe non essere continua in 0 solamente? Potrei dubitare della sua continuità anche per altri valori, se è definita per x>=0 e per x<0, io la verifico per x=0 ma per tutti gli altri valori come faccio a dire che è derivabile?
Ti viene in aiuto qui il fatto che:
- [*:1iy2xtt6]la somma, il prodotto, la composizione di funzioni continue (rispettivamente: di funzioni derivabili) è una funzione continua (risp. derivabile); [/*:m:1iy2xtt6]
[*:1iy2xtt6]se due funzioni $f, g$ coincidono in $x_0$ e in tutto un intorno di $x_0$, e una delle due è continua (risp. derivabile), anche l'altra è continua (risp. derivabile). [/*:m:1iy2xtt6][/list:u:1iy2xtt6]
La tua funzione è definita a tratti usando le funzioni $x^2+1$, che è un polinomio e quindi continua e derivabile a volontà, e $e^{x^2}$, ottenuta componendo la funzione esponenziale e un polinomio, e quindi anche essa continua e derivabile a volontà. In tutti i punti diversi da $0$ la funzione data coincide in tutto un intorno con una di queste funzioni qui, e pertanto è anche essa continua e derivabile a volontà. Per $x=0$ non possiamo usare questi teoremi, e dunque si controlla a mano.
*** Questa analisi andrebbe fatta sempre e mai dimenticata *** altrimenti si arriva ad orrori come
P.S. io sapevo che unaf unzione è continua dov'è definita, quindi qui che problemi ho se praticamente è definita in tutto R?
Mh....quindi vediamo se ho capito, se io considero i punti diversi da 0, troverò che per ogni punto, il limite dalla destra e dalla sinistra coinciderà esattamente con una di quelle definizioni.
Invece per x=0 avrò la prima legge per un intorno destro di 0, e la seconda per un intorno sinistro, quindi ho il sospetto che potrebbe non essere continua.
In definitiva, devo calcolare i limiti laterali in x=0, per il limite dalla destra considero la prima mentre per il limite sinistro considero la seconda funzione. Se coincidono entrambi con le rispettive leggi allora è continua?
In caso poi verifico se esiste il limite del rapporto incrementale?
Invece per x=0 avrò la prima legge per un intorno destro di 0, e la seconda per un intorno sinistro, quindi ho il sospetto che potrebbe non essere continua.
In definitiva, devo calcolare i limiti laterali in x=0, per il limite dalla destra considero la prima mentre per il limite sinistro considero la seconda funzione. Se coincidono entrambi con le rispettive leggi allora è continua?
In caso poi verifico se esiste il limite del rapporto incrementale?
Si.
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