Derivabilitá di una funzione
$ f(x)={ ( x^2sin(1/x) AA x!=0 ),( 0 ):} $
Devo verificare che f(x) sia derivabile in R e che la derivata sia continua in R.
Il problema è che non so come ragionare per x=0: se la funzione assume il valore costante f(0)=0, devo semplicemente usare la derivata di una costante oppure la derivata di f in x=0 non esiste?
Devo verificare che f(x) sia derivabile in R e che la derivata sia continua in R.
Il problema è che non so come ragionare per x=0: se la funzione assume il valore costante f(0)=0, devo semplicemente usare la derivata di una costante oppure la derivata di f in x=0 non esiste?
Risposte
Usa la definizione di derivata: limite del rapporto incrementale.
$ lim_(x -> 0) ((x+h)^2sin(1/(x+h)^2)-x^2sin(1/x))/(h) =
lim_(x -> 0) (h^2sin(1/h^2)-?)/(h) $
Cosa faccio con il secondo termine?
Divido il limite in due e uso Hopital? Oppure il limite non esiste?
lim_(x -> 0) (h^2sin(1/h^2)-?)/(h) $
Cosa faccio con il secondo termine?
Divido il limite in due e uso Hopital? Oppure il limite non esiste?
Piano: vuoi calcolare la derivata a $x=0$, è lì il "problema". Tu lì stai considerando una $x$ generica, non va bene. Valuta correttamente il limite per $h \rarr 0$ di $\frac{f(h)-f(0)}{h}$, ricordando che $f(0)=0$...
$ lim_(h -> 0) (h^2sin(1/h)-0)/(h)=lim_(h -> 0) hsin(1/h)$
Così?
Solo che Wolfram dice che viene 0, mentre applicando Hopital ottengo che il limite non esiste (?).
Così?
Solo che Wolfram dice che viene 0, mentre applicando Hopital ottengo che il limite non esiste (?).
Non serve l'Hopital. E' un teorema che dovresti aver visto, o perlomeno sentito: hai il prodotto di una funzione che tende a $0$ per una funzione limitata in modulo da $1$: il limite è zero.
Ho capito.
Quindi posso dire che f è derivabile in R.
Invece per sapere se la derivata è continua in R studio semplicemente la continuità della derivata di x^2sen(1/x)?
Quindi posso dire che f è derivabile in R.
Invece per sapere se la derivata è continua in R studio semplicemente la continuità della derivata di x^2sen(1/x)?
Praticamente dovrei avere:
$ f'(x)={ ( 2xsin(1/x)-cos(1/x) AA x!=0 ),( 0 ):} $
quindi dovrebbe essere continua su R. Giusto?
$ f'(x)={ ( 2xsin(1/x)-cos(1/x) AA x!=0 ),( 0 ):} $
quindi dovrebbe essere continua su R. Giusto?
$f$ è sì derivabile ovunque, l'unico punto problematico era $x=0$, e abbiamo verificato che la funzione è ivi derivabile con derivata uguale a $0$. Negli altri punti, come vedi dall'espressione di $f'$ che hai scritto sopra, non ci sono problemi.
Ricapitolando, $f$ è continua (ammesso tu l'abbia mostrato), è derivabile in $0$, e $f'(0)=0$, MA $f'$ non è continua a $x=0$: se fai il limite per $x$ che va a $0$ della tua $f'(x)$ che hai scritto sopra, hai che il termine $2 x \sin(frac{1}{x})$ va a $0$, ma il termine $\cos(\frac{1}{x})$ fa sì che il limite non esista. Chiaramente come abbiamo detto per $x \ne 0$ non hai problemi nel derivare tale espressione, e quindi la funzione è ovunque derivabile.
E' un esempio (il classico esempio a dire il vero) di funzione continua e derivabile in ogni punto, che però non ha derivata continua in un punto.
Cercando su internet ci sono migliaia di post su questo: click, click
Ricapitolando, $f$ è continua (ammesso tu l'abbia mostrato), è derivabile in $0$, e $f'(0)=0$, MA $f'$ non è continua a $x=0$: se fai il limite per $x$ che va a $0$ della tua $f'(x)$ che hai scritto sopra, hai che il termine $2 x \sin(frac{1}{x})$ va a $0$, ma il termine $\cos(\frac{1}{x})$ fa sì che il limite non esista. Chiaramente come abbiamo detto per $x \ne 0$ non hai problemi nel derivare tale espressione, e quindi la funzione è ovunque derivabile.
E' un esempio (il classico esempio a dire il vero) di funzione continua e derivabile in ogni punto, che però non ha derivata continua in un punto.
Cercando su internet ci sono migliaia di post su questo: click, click
Quello che non capisco è: se abbiamo ottenuto che la derivata in x=0 vale 0, e anche per tutti gli altri valori di x esiste ed è finita, perché non è continua?
Se il limite per x che tende a 0 non esiste a causa di cos(1/x), significa che non esiste la derivata in x=0. Però nel sistema è anche specificato che f '(x)=0 per x=0, quindi non capisco perché non sia continua.
Se il limite per x che tende a 0 non esiste a causa di cos(1/x), significa che non esiste la derivata in x=0. Però nel sistema è anche specificato che f '(x)=0 per x=0, quindi non capisco perché non sia continua.
Se il limite non coincide con il valore della funzione in $0$, allora $f'$ non è continua a $0$.
In questo caso il limite non esiste proprio. Infatti, al tendere di \(x\) a \(0\), \(f'(x)\) oscilla sempre più velocemente. Se ci piacciono i limsup e liminf, possiamo notare che
\[
\operatorname{\liminf}_{x\to 0} f'(x)=-1,\ \operatorname{\limsup}_{x\to 0} f'(x)=1.\]
\[
\operatorname{\liminf}_{x\to 0} f'(x)=-1,\ \operatorname{\limsup}_{x\to 0} f'(x)=1.\]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo