Derivabilità di una funzione

[zio_mangrovia]

qual è l'approccio migliore per lo studio della derivabilità di una funzione?

Ad esempio se abbiamo:

$x^2+x-1$ per $x<0$
$sin(x)$ per $x>=0$

[feddy]

Il pezzo definito per $x>0$ è $x^2+x-1$? In tal caso la funzione non è nemmeno continua in $x=0$ e ha una discontinuità di salto $|l|=1$, per cui non è continua e quindi nemmeno derivabile.


Per studiare la derivabilità in un punto , prima di tutto si verifica la continuità e seè continua poi puoi verificarne la derivabilità verificando che la derivata non presenti discontinuità di alcun tipo, magari anche usando la definizione tramite il rapporto incrementale.

[zio_mangrovia]

"feddy":
Per studiare la derivabilità in un punto , prima di tutto si verifica la continuità e se è continua poi puoi verificarne la derivabilità verificando che la derivata non presenti discontinuità di alcun tipo, magari anche usando la definizione tramite il rapporto incrementale.

E' possibile studiare la derivata ricavando la relativa funzione $f'(x)$ e cercando di capirne qual è il dominio e quali sono i punti dove non è definita?

[feddy]

allora, in generale funziona, tuttavia esiste un teorema, che si chiama teorema di Darboux, che ti assicura che sotto certe ipotesi puoi farlo. In sostanza il teorema ti dice che se hai una $f$ definita in $I$ e $x_0$ è il punto in cui vuoi verificare la deriabilità, e se $f$ è derivabile in $I \setminus {x_0}$ ed esiste finito $lim_{x \rarr x_0} f'(x)$, allora $f$ è derivabile in $x_0$ e si pone $f'(x_0)=lim_{x \rarr x_0} f'(x)$.


Ti starai chidendo un esempio concreto. Eccotelo: verifica la derivabilità in $x_0=0$ di

$f(x)= { ( x^2sen(1/x)\ldots x!=0 ),( 0 \ldots x=0 ):} $

Bella zio