Derivabilità di una funzione...
Ciao a tutti, ho la seguente funzione definita a tratti:
$ f(x) = { ( sen(pix)......x<1 ),( (x-1)^2......x>=1 ):} $
Devo stabilire se è derivabile in $ x = 1 $ ...
Anzitutto ho controllato che sia continua facendo i limiti per $ x -> 1^- $ e per $ x -> 1^+ $ e ho trovato che valgono entrambi $ 0 $ ... Qundi la funzione è continua in $ x = 1 $ perchè $ f(1) = 0 $ ...
Ora però non riesco a valutare se è anche derivabile...
Come si fa a determinare il rapporto incrementale dato che è come se avessi 2 funzioni?... Devo fare il rapporto incrementale sia dell'una che dell'altra e poi fare il limite per $ h -> 0 $ ?... Grazie mille a tutti...
$ f(x) = { ( sen(pix)......x<1 ),( (x-1)^2......x>=1 ):} $
Devo stabilire se è derivabile in $ x = 1 $ ...
Anzitutto ho controllato che sia continua facendo i limiti per $ x -> 1^- $ e per $ x -> 1^+ $ e ho trovato che valgono entrambi $ 0 $ ... Qundi la funzione è continua in $ x = 1 $ perchè $ f(1) = 0 $ ...
Ora però non riesco a valutare se è anche derivabile...
Come si fa a determinare il rapporto incrementale dato che è come se avessi 2 funzioni?... Devo fare il rapporto incrementale sia dell'una che dell'altra e poi fare il limite per $ h -> 0 $ ?... Grazie mille a tutti...
Risposte
Puoi fare limite destro e sinistro della derivata per vedere se sono uguali: in fondo a destra e sinistra la derivata esiste poiché, singolarmente, sono funzioni derivabili ($C^(\infty)$ a dirla tutta...!).
"inv3rse":
Come si fa a determinare il rapporto incrementale dato che è come se avessi 2 funzioni?... Devo fare il rapporto incrementale sia dell'una che dell'altra e poi fare il limite per $ h -> 0 $ ?... Grazie mille a tutti...
Il rapporto incrementale (relativo a $x_0:=1$) che devi studiare è uno solo, quello di $f$:
\[F(x):=\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}\]
Come ti ha già suggerito Zero87, di $F$ esiste il limite destro (i.e. esiste la derivata destra di $f$), perché per $x\ge 1$ la tua $f$ coincide* con $(x-1)^2$, che è derivabile quante volte ti piace su tutto $RR$.
Per verificare che $f$ è derivabile ti rimane quindi da stabilire se esista o meno il limite sinistro in $x_0$ di $F$, tenendo presente "cos'è" $f$ per $x<1$.
[size=80]_________________________________________
*In particolare coincidono i rapporti incrementali di $f$ e $(x-1)^2$.[/size]
ricordo a inv3rse, che vi sono 2 formule del rapporto incrementale, cioè 2, sono entrambe equivalenti
$\lim_(x\to x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$
oppure $\lim_(h\to 0)(f(x_0+h)-f(x_0))/(h)$
è la stessa formula, vedi qual è più comoda per te, io partivo dalla prima e poi facevo uso della seconda XD, a seguito della traslazione in 0. Ma dipendeva anche dal testo.
$\lim_(x\to x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$
oppure $\lim_(h\to 0)(f(x_0+h)-f(x_0))/(h)$
è la stessa formula, vedi qual è più comoda per te, io partivo dalla prima e poi facevo uso della seconda XD, a seguito della traslazione in 0. Ma dipendeva anche dal testo.
Ciao, grazie mille delle risposte, come sempre chiare e semplici...
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